Номер 872 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 872.
С помощью рисунка 87 разъясните геометрический смысл формулы (a − b)(a + b) = a2 − b2 для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.
💡 Подсказка (без ответа)
Представьте большой квадрат со стороной а. Внутри него в углу расположен меньший квадрат со стороной b. После вырезания маленького квадрата остаётся фигура. Подумайте, как можно переставить части этой оставшейся фигуры, чтобы получить прямоугольник. Какие будут его стороны?
Решение по шагам
Эта формула объясняется площадью фигур на рисунке.
Шаг 1. Начальная фигура Имеем квадрат со стороной а. Его площадь равна а².
Шаг 2. Вырезаем квадрат Внутри квадрата вырезаем меньший квадрат со стороной b (он расположен в углу). Его площадь равна b².
Шаг 3. Оставшаяся площадь После вырезания остаётся фигура площадью: а² − b²
Шаг 4. Перестраиваем оставшуюся часть Оставшуюся фигуру можно разрезать на два прямоугольника:
- Один прямоугольник имеет размеры: (a − b) × a (верхняя часть)
- Другой прямоугольник имеет размеры: (a − b) × b (боковая часть слева)
Но удобнее рассмотреть по-другому:
Шаг 5. Другой способ разрезания Оставшуюся фигуру режем так, чтобы получить:
- Длинный прямоугольник размером (a − b) × a
- Квадрат со стороной b уже вычтен
Весь остаток можно представить как прямоугольник с длиной (a + b) и шириной (a − b).
Вывод: Площадь оставшейся фигуры можно выразить двумя способами:
- Первый способ: а² − b² (вычитаем площадь маленького квадрата из большого)
- Второй способ: (a + b) × (a − b) (площадь перестроенного прямоугольника)
Поэтому: (a − b)(a + b) = a² − b²
Редакция 2019
№ 872.
Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте произвольное целое число буквой n. Выразите через n предыдущее число (n - 1) и последующее число (n + 1), затем вычислите их произведение, используя формулу разности квадратов.
Решение по шагам
Обозначим любое целое число буквой n.
Тогда:
- предыдущее целое число: n - 1
- последующее целое число: n + 1
Нужно доказать, что n² на единицу больше произведения (n - 1)(n + 1).
Шаг 1. Найдём произведение предыдущего и последующего чисел: (n - 1)(n + 1) = n² - 1
Это работает по формуле разности квадратов: (a - b)(a + b) = a² - b² Здесь a = n, b = 1, поэтому: (n - 1)(n + 1) = n² - 1² = n² - 1
Шаг 2. Сравним квадрат числа n с произведением (n - 1)(n + 1): n² = (n² - 1) + 1
Шаг 3. Вывод: n² больше произведения (n - 1)(n + 1) ровно на 1.
Что и требовалось доказать!