Номер 864 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 864.
Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:
а) x2 + 2x + 2;
б) 4y2 − 4y + 6;
в) a2 + b2 − 2ab + 1;
г) 9x2 + 4 − 6xy + 4y2.
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй выделить полный квадрат (формулы (a + b)² и (a − b)²). После этого у тебя получится сумма квадрата (или нескольких квадратов) и положительного числа.
Решение по шагам
а) x² + 2x + 2
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
- x² + 2x + 2 = x² + 2x + 1 + 1
- = (x + 1)² + 1
Поскольку (x + 1)² ≥ 0 для любого x, то (x + 1)² + 1 ≥ 1 > 0.
Выражение всегда положительно.
б) 4y² − 4y + 6
Вынесем коэффициент и выделим полный квадрат:
- 4y² − 4y + 6 = 4(y² − y) + 6
- = 4(y² − y + 1/4 − 1/4) + 6
- = 4(y² − y + 1/4) − 1 + 6
- = 4(y − 1/2)² + 5
Поскольку 4(y − 1/2)² ≥ 0, то 4(y − 1/2)² + 5 ≥ 5 > 0.
Выражение всегда положительно.
в) a² + b² − 2ab + 1
Переставим и выделим полный квадрат:
- a² + b² − 2ab + 1 = a² − 2ab + b² + 1
- = (a − b)² + 1
Поскольку (a − b)² ≥ 0, то (a − b)² + 1 ≥ 1 > 0.
Выражение всегда положительно.
г) 9x² + 4 − 6xy + 4y²
Переставим слагаемые:
- 9x² + 4 − 6xy + 4y² = 9x² − 6xy + y² + 3y² + 4
Другой способ — заметить, что это похоже на квадрат суммы:
- 9x² − 6xy + y² = (3x − y)²
Тогда:
- 9x² + 4 − 6xy + 4y² = (3x − y)² + 3y² + 4
Поскольку (3x − y)² ≥ 0, 3y² ≥ 0 и 4 > 0, то сумма всегда положительна.
Выражение всегда положительно.
Редакция 2019
№ 864.
Выполните умножение:
а) (−m2 + 8)(m2 + 8). б) (5y − y2)(y2 + 5y). в) (6n2 + 1)(−6n2 + 1). г) (−7ab − 0,2)(0,2 − 7ab).
💡 Подсказка (без ответа)
Посмотри внимательно на скобки — в каждом примере можно найти формулу разности квадратов (a − b)(a + b) = a² − b². Переставь слагаемые так, чтобы увидеть эту формулу, а потом применяй её.
Решение по шагам
Решаем примеры на умножение многочленов. Используем формулу разности квадратов (a − b)(a + b) = a² − b² или раскрываем скобки.
а) (−m² + 8)(m² + 8)
Переставим первый многочлен: (8 − m²)(8 + m²)
Это формула разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b²
Здесь a = 8, b = m²
(8 − m²)(8 + m²) = 8² − (m²)² = 64 − m⁴
б) (5y − y²)(y² + 5y)
Переставим второй многочлен: (5y − y²)(5y + y²)
Это формула разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b²
Здесь a = 5y, b = y²
(5y − y²)(5y + y²) = (5y)² − (y²)² = 25y² − y⁴
в) (6n² + 1)(−6n² + 1)
Переставим: (1 + 6n²)(1 − 6n²) = (1 − 6n²)(1 + 6n²)
Это формула разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b²
Здесь a = 1, b = 6n²
(1 − 6n²)(1 + 6n²) = 1² − (6n²)² = 1 − 36n⁴
г) (−7ab − 0,2)(0,2 − 7ab)
Переставим первый множитель: (−7ab − 0,2) = −(7ab + 0,2)
Переставим второй: (0,2 − 7ab) = −(7ab − 0,2)
Получаем: −(7ab + 0,2) · (−(7ab − 0,2)) = (7ab + 0,2)(7ab − 0,2)
Это формула разности квадратов: (a + b)(a − b) = a² − b²
Здесь a = 7ab, b = 0,2
(7ab + 0,2)(7ab − 0,2) = (7ab)² − (0,2)² = 49a²b² − 0,04