Номер 863 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 863.
Докажите, что при любом значении х многочлен х2 + 6х + 10 принимает положительные значения.
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй выделить полный квадрат из многочлена. Вспомни формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Какое число нужно добавить и вычесть, чтобы получить квадрат двучлена из первых двух членов?
Решение по шагам
Нам нужно доказать, что x² + 6x + 10 > 0 при любом значении x.
Шаг 1: Выделим полный квадрат из многочлена.
Вспомним, что (a + b)² = a² + 2ab + b²
Посмотрим на наш многочлен: x² + 6x + 10
В выражении x² + 6x нам нужно добавить число, чтобы получился полный квадрат.
Коэффициент при x равен 6. Делим его на 2: 6 ÷ 2 = 3
Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить 3² = 9
Шаг 2: Перепишем многочлен, выделив полный квадрат.
x² + 6x + 10 = (x² + 6x + 9) + 10 - 9
Шаг 3: Заметим, что x² + 6x + 9 — это полный квадрат.
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Шаг 4: Подставим обратно.
x² + 6x + 10 = (x + 3)² + 1
Шаг 5: Анализируем полученное выражение.
(x + 3)² — это квадрат числа, поэтому (x + 3)² ≥ 0 при любом значении x
Минимальное значение (x + 3)² равно 0 (когда x = -3)
Следовательно, (x + 3)² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0
Вывод: При любом значении x многочлен x² + 6x + 10 принимает значения, которые больше или равны 1, то есть всегда положительные значения. Что и требовалось доказать.
Редакция 2019
№ 863.
Представьте в виде многочлена:
а) (−3xy + a)(3xy + a). б) (−1 − 2a2b)(1 − 2a2b). в) (12a3 − 7x)(−12a3 − 7x). г) (−10p4 + 9)(9 − 10p4). д) (0,2x + 10y)(10y − 0,2x). е) (1,1y − 0,3)(0,3 + 1,1y).