Номер 857 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 857.
Верно ли, что при любых значениях х:
а) х2 + 10 > 0;
б) х2 + 20х + 100 > 0?
💡 Подсказка (без ответа)
а) Вспомни, что квадрат любого числа неотрицательный. Добавь к нему положительное число 10. б) Попробуй свернуть выражение х² + 20х + 100 по формуле квадрата суммы (а + b)². Квадрат может равняться нулю!
Решение по шагам
Проверим каждое утверждение отдельно.
а) х² + 10 > 0
Чтобы проверить, верно ли это при любых х, посмотрим, какие значения может принимать выражение х² + 10.
Вспомним: х² — это квадрат числа. Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю.
- Если х = 0, то х² = 0
- Если х ≠ 0, то х² > 0 (он положительный)
Значит: х² ≥ 0 при любых х
Тогда: х² + 10 ≥ 0 + 10 = 10
Получается, что х² + 10 ≥ 10 > 0 всегда.
Ответ: ДА, верно.
б) х² + 20х + 100 > 0
Попробуем разложить это выражение. Заметим, что это похоже на квадрат суммы.
Помним формулу: (а + b)² = а² + 2ab + b²
Проверим: х² + 20х + 100 = х² + 2·x·10 + 10² = (х + 10)²
Теперь проверим: может ли (х + 10)² быть > 0?
(х + 10)² — это квадрат числа, поэтому (х + 10)² ≥ 0
Но когда (х + 10)² = 0? Когда х + 10 = 0, то есть при х = -10.
Проверим: если х = -10, то (-10 + 10)² = 0² = 0
Получается, что выражение равно нулю (не больше нуля), а не больше нуля.
Ответ: НЕТ, неверно. При х = -10 выражение равно 0, а не больше 0.
Редакция 2019
№ 857.
Представьте в виде многочлена произведение:
а) (x2 − 5)(x2 + 5). е) (a3 − b2)(a3 + b2). б) (4 + y2)(y2 − 4). ж) (c4 + d2)(d2 − c4). в) (9a − b2)(b2 + 9a). з) (5x2 + 2y3)(5x2 − 2y3). г) (0,7x + y2)(0,7x − y2). и) (1,4c − 0,7y3)(0,7y3 + 1,4c). д) (10p2 − 0,3q2)(10p2 + 0,3q2). к) (1,3a5 − 0,1b4)(1,3a5 + 0,1b4).
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомните формулу сокращённого умножения: произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов (a − b)(a + b) = a² − b². В каждом примере нужно определить, какие части играют роль a и b, возвести их в квадрат и вычесть результаты.
Решение по шагам
Используем формулу разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b²
а) (x² − 5)(x² + 5) = (x²)² − 5² = x⁴ − 25
б) (4 + y²)(y² − 4) = (y² + 4)(y² − 4) = (y²)² − 4² = y⁴ − 16
в) (9a − b²)(b² + 9a) = (9a − b²)(9a + b²) = (9a)² − (b²)² = 81a² − b⁴
г) (0,7x + y²)(0,7x − y²) = (0,7x)² − (y²)² = 0,49x² − y⁴
д) (10p² − 0,3q²)(10p² + 0,3q²) = (10p²)² − (0,3q²)² = 100p⁴ − 0,09q⁴
е) (a³ − b²)(a³ + b²) = (a³)² − (b²)² = a⁶ − b⁴
ж) (c⁴ + d²)(d² − c⁴) = (d² + c⁴)(d² − c⁴) = (d²)² − (c⁴)² = d⁴ − c⁸
з) (5x² + 2y³)(5x² − 2y³) = (5x²)² − (2y³)² = 25x⁴ − 4y⁶
и) (1,4c − 0,7y³)(0,7y³ + 1,4c) = (1,4c − 0,7y³)(1,4c + 0,7y³) = (1,4c)² − (0,7y³)² = 1,96c² − 0,49y⁶
к) (1,3a⁵ − 0,1b⁴)(1,3a⁵ + 0,1b⁴) = (1,3a⁵)² − (0,1b⁴)² = 1,69a¹⁰ − 0,01b⁸