Номер 856 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 856.
Найдите значение выражения:
а) y2 − 2y + 1 при у = 101; −11; 0,6;
б) 4х2 − 20х + 25 при х = 12,5; 0; −2;
в) 25а2 + 49 + 70а при а = 0,4; −2; −1,6.
💡 Подсказка (без ответа)
Посмотри внимательно на каждое выражение. Можешь ли ты заметить формулу квадрата суммы или квадрата разности? Если привести выражение к виду квадрата — (a ± b)² — то вычисления будут намного проще и быстрее.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решу каждый пункт пошагово.
а) y² − 2y + 1 при у = 101; −11; 0,6
Заметим, что y² − 2y + 1 = (y − 1)² — это формула квадрата разности.
При у = 101: (101 − 1)² = 100² = 10 000
При у = −11: (−11 − 1)² = (−12)² = 144
При у = 0,6: (0,6 − 1)² = (−0,4)² = 0,16
б) 4х² − 20х + 25 при х = 12,5; 0; −2
Заметим, что 4х² − 20х + 25 = (2х − 5)² — это формула квадрата разности.
При х = 12,5: (2 · 12,5 − 5)² = (25 − 5)² = 20² = 400
При х = 0: (2 · 0 − 5)² = (−5)² = 25
При х = −2: (2 · (−2) − 5)² = (−4 − 5)² = (−9)² = 81
в) 25а² + 49 + 70а при а = 0,4; −2; −1,6
Переставим слагаемые: 25а² + 70а + 49 = (5а + 7)² — это формула квадрата суммы.
При а = 0,4: (5 · 0,4 + 7)² = (2 + 7)² = 9² = 81
При а = −2: (5 · (−2) + 7)² = (−10 + 7)² = (−3)² = 9
При а = −1,6: (5 · (−1,6) + 7)² = (−8 + 7)² = (−1)² = 1
Редакция 2019
№ 856.
С помощью рисунка 72 разъясните геометрический смысл формулы (a − b)(a + b) = a2 − b2 для положительных a и b, удовлетворяющих условию a > b.
💡 Подсказка (без ответа)
Рассмотрите две фигуры: 1) прямоугольник со сторонами (a − b) и (a + b); 2) большой квадрат (площадь a²) с вырезанным маленьким квадратом (площадь b²). Покажите, что эти фигуры имеют одинаковую площадь.
Решение по шагам
Геометрический смысл формулы (a − b)(a + b) = a² − b² объясняется с помощью площадей.
Левая часть формулы: (a − b)(a + b)
Представим прямоугольник со сторонами (a + b) и (a − b). Его площадь равна произведению сторон: (a + b) · (a − b).
Правая часть формулы: a² − b²
Представим большой квадрат со стороной a (его площадь a²) и вырежем из него маленький квадрат со стороной b (его площадь b²). Оставшаяся площадь равна a² − b².
Связь между ними:
Если мы возьмём квадрат со стороной a и вырежем из одного угла квадрат со стороной b, то оставшаяся фигура (получится, как буква Г) может быть переделана в прямоугольник. Когда мы правильно переставим части этой фигуры, то получим прямоугольник со сторонами (a + b) и (a − b).
Обе фигуры имеют одинаковую площадь, поэтому: (a − b)(a + b) = a² − b²
Это показывает, что произведение суммы и разности двух чисел равно разности их квадратов.