Номер 848 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 848.
Из пункта А и В, расстояние между которыми 1020 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда, причём скорость одного была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 5 ч поезд, ещё не встретевшись, находились на расстоянии 170 км друг от друга. Найдите скорость поездов.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь скорость одного поезда через x км/ч, тогда скорость другого (x + 10) км/ч. За 5 часов совместно они должны проехать расстояние, которое равно начальному расстоянию минус оставшееся расстояние между ними (1020 - 170 = 850 км).
Решение по шагам
Обозначим скорость первого поезда как x км/ч.
Тогда скорость второго поезда: (x + 10) км/ч (так как на 10 км/ч больше).
Оба поезда едят навстречу друг другу 5 часов.
Расстояние, которое проехал первый поезд за 5 ч: 5x км
Расстояние, которое проехал второй поезд за 5 ч: 5(x + 10) км
Оба поезда вместе проехали: 5x + 5(x + 10) = 5x + 5x + 50 = 10x + 50 км
Иходное расстояние между поездами было 1020 км. После 5 часов они всё ещё не встретились, и между ними осталось 170 км.
Это означает, что вместе они проехали: 1020 - 170 = 850 км
Составляем уравнение: 10x + 50 = 850
10x = 850 - 50
10x = 800
x = 80
Проверка: Первый поезд: 80 км/ч, за 5 ч проехал 80 × 5 = 400 км Второй поезд: 80 + 10 = 90 км/ч, за 5 ч проехал 90 × 5 = 450 км Вместе проехали: 400 + 450 = 850 км Остаток расстояния: 1020 - 850 = 170 км ✓
Ответ: скорость первого поезда 80 км/ч, скорость второго поезда 90 км/ч.
Редакция 2019
№ 848.
Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:
а) x2 + 2x + 2; б) 4y2 − 4y + 6; в) a2 + b2 − 2ab +1; г) 9x2 + 4 − 6xy + 4y2.
💡 Подсказка (без ответа)
Выделите полный квадрат из каждого выражения (приведите к виду суммы квадрата и положительного числа). Затем покажите, что сумма неотрицательного числа и положительного числа даёт положительное число.
Решение по шагам
Надо доказать, что выражения всегда больше нуля. Для этого будем выделять полный квадрат.
а) x² + 2x + 2
Преобразуем: x² + 2x + 2 = x² + 2x + 1 + 1 = (x + 1)² + 1
Посмотрим, что получилось: — (x + 1)² ≥ 0 для любого x (квадрат всегда неотрицательный) — (x + 1)² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0
Значит, выражение всегда больше нуля. ✓
б) 4y² − 4y + 6
Преобразуем: 4y² − 4y + 6 = 4y² − 4y + 1 + 5 = (2y − 1)² + 5
Посмотрим: — (2y − 1)² ≥ 0 для любого y — (2y − 1)² + 5 ≥ 0 + 5 = 5 > 0
Выражение всегда больше нуля. ✓
в) a² + b² − 2ab + 1
Преобразуем: a² + b² − 2ab + 1 = a² − 2ab + b² + 1 = (a − b)² + 1
Посмотрим: — (a − b)² ≥ 0 для любых a и b — (a − b)² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0
Выражение всегда больше нуля. ✓
г) 9x² + 4 − 6xy + 4y²
Переставим члены удобнее: 9x² + 4 − 6xy + 4y² = 9x² − 6xy + y² + 3y² + 4
Выделим полный квадрат из первых трёх членов: 9x² − 6xy + y² = (3x − y)²
Тогда: (3x − y)² + 3y² + 4
Посмотрим: — (3x − y)² ≥ 0 — 3y² ≥ 0 — (3x − y)² + 3y² + 4 ≥ 0 + 0 + 4 = 4 > 0
Выражение всегда больше нуля. ✓