Номер 840 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 840.
Докажите тождество:
а) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2);
б) (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab;
в) a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab;
г) (a + b)2 − 2b(a + b) = a2 − b2.
💡 Подсказка (без ответа)
В каждом примере раскрой скобки, используя формулы (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)² = a² − 2ab + b². После раскрытия скобок упрости выражение — подобные слагаемые должны сократиться так, чтобы левая и правая части совпали.
Решение по шагам
Докажу каждое тождество, раскрывая скобки и упрощая обе части.
а) (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)
Раскрою левую часть: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b²
Сложу их: (a + b)² + (a − b)² = a² + 2ab + b² + a² − 2ab + b² = 2a² + 2b² = 2(a² + b²)
Правая часть: 2(a² + b²) = 2a² + 2b²
Левая часть = Правая часть ✓
б) (a + b)² − (a − b)² = 4ab
Раскрою левую часть: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b²
Вычту: (a + b)² − (a − b)² = (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b² = 4ab
Правая часть: 4ab
Левая часть = Правая часть ✓
в) a² + b² = (a + b)² − 2ab
Раскрою правую часть: (a + b)² − 2ab = a² + 2ab + b² − 2ab = a² + b²
Левая часть: a² + b²
Левая часть = Правая часть ✓
г) (a + b)² − 2b(a + b) = a² − b²
Раскрою левую часть: (a + b)² = a² + 2ab + b² 2b(a + b) = 2ab + 2b²
Вычту: (a + b)² − 2b(a + b) = a² + 2ab + b² − 2ab − 2b² = a² − b²
Правая часть: a² − b² (это можно разложить как (a − b)(a + b))
Левая часть = Правая часть ✓
Редакция 2019
№ 840.
Найдите значение выражения:
а) у2 − 2у + 1 при у = 101; −11; 0,б; б) 4х2 − 20х + 25 при х = 12,5; 0; −2; в) 25а2 + 49 + 70а при а = 0,4; −2; −16.
💡 Подсказка (без ответа)
Посмотри внимательно на каждое выражение. Попробуй узнать в нём формулы сокращённого умножения: квадрат суммы (а + b)² = а² + 2аb + b² или квадрат разности (а − b)² = а² − 2аb + b². Если разложить выражение по формуле, считать будет намного быстрее!
Решение по шагам
Решим каждый пункт, подставляя значения переменных в выражения.
а) у² − 2у + 1 при у = 101; −11; 0,6
Заметим, что у² − 2у + 1 = (у − 1)² (это формула квадрата разности). Подставлять будет проще!
При у = 101: (101 − 1)² = 100² = 10000
При у = −11: (−11 − 1)² = (−12)² = 144
При у = 0,6: (0,6 − 1)² = (−0,4)² = 0,16
б) 4х² − 20х + 25 при х = 12,5; 0; −2
Заметим, что 4х² − 20х + 25 = (2х − 5)² (это формула квадрата разности).
При х = 12,5: (2 · 12,5 − 5)² = (25 − 5)² = 20² = 400
При х = 0: (2 · 0 − 5)² = (−5)² = 25
При х = −2: (2 · (−2) − 5)² = (−4 − 5)² = (−9)² = 81
в) 25а² + 49 + 70а при а = 0,4; −2; −16
Переупорядочим: 25а² + 70а + 49 = (5а + 7)² (это формула квадрата суммы).
При а = 0,4: (5 · 0,4 + 7)² = (2 + 7)² = 9² = 81
При а = −2: (5 · (−2) + 7)² = (−10 + 7)² = (−3)² = 9
При а = −16: (5 · (−16) + 7)² = (−80 + 7)² = (−73)² = 5329