Номер 831 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Для упрощения вспомни формулы сокращённого умножения: квадрат суммы/разности и разность квадратов (A² − B² = (A − B)(A + B)). Раскрывай скобки аккуратно и приводи подобные слагаемые.

Упростим каждое выражение, используя формулу разности квадратов и формулу квадрата двучлена.

а) (12a − 1)² − 1

Заметим, что это разность квадратов: A² − B², где A = (12a − 1) и B = 1.

Применяем формулу: A² − B² = (A − B)(A + B)

(12a − 1)² − 1² = (12a − 1 − 1)(12a − 1 + 1) = (12a − 2) · 12a = 12a(12a − 2) = 144a² − 24a

б) (2a + 6b)² − 24ab

Раскроем квадрат: (2a + 6b)² = 4a² + 2 · 2a · 6b + 36b² = 4a² + 24ab + 36b²

Теперь вычтем 24ab:

4a² + 24ab + 36b² − 24ab = 4a² + 36b² = 4(a² + 9b²)

в) 121 − (11 − 9x)²

Это разность квадратов: 11² − (11 − 9x)² = (11 − (11 − 9x))(11 + (11 − 9x))

= (11 − 11 + 9x)(11 + 11 − 9x) = 9x(22 − 9x) = 198x − 81x²

г) a²b² − (ab − 7)²

Это разность квадратов: (ab)² − (ab − 7)² = (ab − (ab − 7))(ab + (ab − 7))

= (ab − ab + 7)(ab + ab − 7) = 7(2ab − 7) = 14ab − 49

д) b² + 49 − (b − 7)²

Раскроем квадрат: (b − 7)² = b² − 14b + 49

Теперь вычтем:

b² + 49 − (b² − 14b + 49) = b² + 49 − b² + 14b − 49 = 14b

е) a⁴ − 81 − (a² + 9)

Сначала раскроем скобки:

a⁴ − 81 − a² − 9 = a⁴ − a² − 90

Можно заметить, что a⁴ − 81 = (a²)² − 9² = (a² − 9)(a² + 9), но с учётом вычитания (a² + 9) получаем:

= a⁴ − a² − 90

Попробуй сгруппировать члены многочлена в две пары так, чтобы из каждой пары можно было вынести общий множитель. После этого из полученных выражений снова вынесется общий множитель.

Разложим многочлен а³ + 2а + а² + 2 на множители.

1. Сгруппируем члены попарно: (а³ + а²) + (2а + 2)

2. Из первой группы вынесем общий множитель а²: а²(а + 1) + (2а + 2)

3. Из второй группы вынесем общий множитель 2: а²(а + 1) + 2(а + 1)

4. Теперь видим общий множитель (а + 1), вынесем его: (а + 1)(а² + 2)

5. Проверим умножением: (а + 1)(а² + 2) = а³ + 2а + а² + 2 ✓