Номер 825 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Вспомни формулы сокращённого умножения: (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a - b)² = a² - 2ab + b². Внимательно определи первое слагаемое и второе, потом применяй формулу. Не забывай про знаки в середине выражения!

Используем формулу квадрата суммы (a + b)² = a² + 2ab + b² и квадрата разности (a - b)² = a² - 2ab + b².

а) (-3a + 10b)² Это квадрат суммы (слагаемые: -3a и 10b). (-3a)² + 2·(-3a)·10b + (10b)² = 9a² - 60ab + 100b²

б) (-6m - n)² Это квадрат суммы (слагаемые: -6m и -n). Можно написать как (-(6m + n))². (-6m)² + 2·(-6m)·(-n) + (-n)² = 36m² + 12mn + n²

в) (8x - 0,3y)² Это квадрат разности. (8x)² - 2·8x·0,3y + (0,3y)² = 64x² - 4,8xy + 0,09y²

г) (5a + 1/15·b)² Это квадрат суммы. (5a)² + 2·5a·(1/15·b) + (1/15·b)² = 25a² + (10/15)ab + 1/225·b² = 25a² + (2/3)ab + b²/225

д) (-0,2p - 10q)² Это квадрат суммы. Можно написать как (-(0,2p + 10q))². (-0,2p)² + 2·(-0,2p)·(-10q) + (-10q)² = 0,04p² + 4pq + 100q²

е) (0,8x - 0,1y)² Это квадрат разности. (0,8x)² - 2·0,8x·0,1y + (0,1y)² = 0,64x² - 0,16xy + 0,01y²

Раскройте скобки в левой части (a² + b²)(c² + d²). Затем раскройте оба квадрата в правой части: (ac + bd)² и (ad − bc)². Сложите полученные выражения и убедитесь, что они совпадают.

Докажем, что левая часть равна правой части.

Нужно развернуть обе части тождества и проверить, что они совпадают.

Левая часть: (a² + b²)(c² + d²)

Развернём скобки: = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

Правая часть: (ac + bd)² + (ad − bc)²

Развернём первый квадрат: (ac + bd)² = a²c² + 2acbd + b²d²

Развернём второй квадрат: (ad − bc)² = a²d² − 2adbc + b²c²

Сложим оба квадрата: (ac + bd)² + (ad − bc)² = a²c² + 2acbd + b²d² + a²d² − 2adbc + b²c²

Заметим, что 2acbd и −2adbc взаимно уничтожаются (это одно и то же, только с противоположными знаками): = a²c² + b²d² + a²d² + b²c²

= a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

Вывод: Левая часть = a²c² + a²d² + b²c² + b²d² Правая часть = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.