Номер 823 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Раскройте обе части каждого тождества по формуле квадрата двучлена (a ± b)² = a² ± 2ab + b². Покажите, что левая и правая части дают одинаковый результат.

Докажем оба тождества пошагово.

а) (a − b)² = (b − a)²

Раскроем левую часть: (a − b)² = a² − 2ab + b²

Раскроем правую часть: (b − a)² = b² − 2ab + a²

Переделаем правую часть в стандартный порядок: b² − 2ab + a² = a² − 2ab + b²

Мы видим, что левая часть равна правой части. Тождество доказано!

Что здесь происходит: когда мы меняем порядок вычитания (с a − b на b − a), результат возводится в квадрат, и минус пропадает благодаря свойствам квадрата.

б) (−a − b)² = (a + b)²

Раскроем левую часть: (−a − b)² = (−a)² + 2·(−a)·(−b) + (−b)² = a² + 2ab + b²

Раскроем правую часть: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Левая часть равна правой части. Тождество доказано!

Что здесь происходит: когда мы выносим минус перед скобками (−a − b) = −(a + b), а затем возводим в квадрат, минус исчезает благодаря квадрату.

Вспомните формулы квадрата суммы (a + b)² = a² + 2ab + b² и квадрата разности (a − b)² = a² − 2ab + b². Сначала раскройте скобку с квадратом, потом умножьте результат на множитель перед скобками.

Решим каждый пример пошагово.

а) a(a + 9b)²

Сначала раскроем квадрат суммы: (a + 9b)² = a² + 2·a·9b + (9b)² = a² + 18ab + 81b²

Теперь умножим на a: a(a² + 18ab + 81b²) = a³ + 18a²b + 81ab²

б) 6x(x² + 5x)²

Сначала раскроем квадрат суммы: (x² + 5x)² = (x²)² + 2·x²·5x + (5x)² = x⁴ + 10x³ + 25x²

Теперь умножим на 6x: 6x(x⁴ + 10x³ + 25x²) = 6x⁵ + 60x⁴ + 150x³

в) (a + 2)(a − 1)²

Сначала раскроем квадрат разности: (a − 1)² = a² − 2a + 1

Теперь умножим на (a + 2): (a + 2)(a² − 2a + 1) = a³ − 2a² + a + 2a² − 4a + 2 = a³ − 3a + 2

г) (x − 4)(x + 2)²

Сначала раскроем квадрат суммы: (x + 2)² = x² + 4x + 4

Теперь умножим на (x − 4): (x − 4)(x² + 4x + 4) = x³ + 4x² + 4x − 4x² − 16x − 16 = x³ − 12x − 16