Номер 818 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 818.
Проверьте, что равенство верно при n = 3. Покажите, что это равенство верно при любом n.
n2 + (n + 2)2 + (n + 9)2 = (n − 1)2 + (n + 5)2 + (n + 7)2 + 10
💡 Подсказка (без ответа)
Подставь n = 3 в обе части и вычисли. Затем раскрой все скобки в обеих частях и упрости, собрав подобные слагаемые. Если получится одно и то же выражение — равенство верно для любого n.
Решение по шагам
Проверим равенство при n = 3 и докажем его для любого n.
Шаг 1: Проверка при n = 3
Подставим n = 3 в обе части равенства.
Левая часть: 3² + (3 + 2)² + (3 + 9)² = 9 + 5² + 12² = 9 + 25 + 144 = 178
Правая часть: (3 − 1)² + (3 + 5)² + (3 + 7)² + 10 = 2² + 8² + 10² + 10 = 4 + 64 + 100 + 10 = 178
178 = 178 ✓ Равенство верно при n = 3.
Шаг 2: Доказательство для любого n
Раскроем скобки в левой части: n² + (n + 2)² + (n + 9)² = n² + n² + 4n + 4 + n² + 18n + 81 = 3n² + 22n + 85
Раскроем скобки в правой части: (n − 1)² + (n + 5)² + (n + 7)² + 10 = n² − 2n + 1 + n² + 10n + 25 + n² + 14n + 49 + 10 = 3n² + 22n + 85
Шаг 3: Вывод
Левая часть = 3n² + 22n + 85 Правая часть = 3n² + 22n + 85
Так как обе части равны одному и тому же выражению, равенство верно при любом значении n.
Редакция 2019
№ 818.
Упростите выражение и найдите его значение:
а) (x − 10)2 − x(x + 80) при x = 0,97; б) (2x + 9)2 − x(4x + 31) при x = −16,2; в) (2x + 0,5)2 − (2x − 0,5)2 при x = −3,5; г) (0,1x − 8)2 + (0,1x + 8)2 при x = −10.