Номер 802 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 802.
Сторона квадрата на 2 см больше одной из сторон прямоугольника и на 5 см меньше другой. Найдите площадь квадрата, если известно, что она на 502 см меньше площади прямоугольника.
Редакция 2019
№ 802.
Проверьте, что равенство n2 + (n + 2)2 + (n + 9)2 = (n − 1)2 + (n + 5)2 + (n + 7)2 + 10 верно при n = 3. Покажите, что равенство верно при любом n.
💡 Подсказка (без ответа)
Подставь сначала число 3 вместо n и вычисли обе части по отдельности. Потом раскрой все скобки в обеих частях и упрости — если получится одно и то же выражение, равенство верно для любого n.
Решение по шагам
Сначала проверим равенство при n = 3.
Шаг 1. Подставляем n = 3 в левую часть:
Левая часть = n² + (n + 2)² + (n + 9)²
= 3² + (3 + 2)² + (3 + 9)²
= 9 + 5² + 12²
= 9 + 25 + 144
= 178
Шаг 2. Подставляем n = 3 в правую часть:
Правая часть = (n − 1)² + (n + 5)² + (n + 7)² + 10
= (3 − 1)² + (3 + 5)² + (3 + 7)² + 10
= 2² + 8² + 10² + 10
= 4 + 64 + 100 + 10
= 178
Левая часть = Правая часть ✓
Шаг 3. Теперь покажем, что равенство верно при любом n.
Раскроем скобки в левой части:
n² + (n + 2)² + (n + 9)²
= n² + (n² + 4n + 4) + (n² + 18n + 81)
= n² + n² + 4n + 4 + n² + 18n + 81
= 3n² + 22n + 85
Шаг 4. Раскроем скобки в правой части:
(n − 1)² + (n + 5)² + (n + 7)² + 10
= (n² − 2n + 1) + (n² + 10n + 25) + (n² + 14n + 49) + 10
= n² − 2n + 1 + n² + 10n + 25 + n² + 14n + 49 + 10
= 3n² + 22n + 85
Шаг 5. Вывод:
Левая часть = 3n² + 22n + 85
Правая часть = 3n² + 22n + 85
Они равны при любом значении n! Равенство доказано.