Номер 801 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 801.
Докажите, что:
а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.
Редакция 2019
№ 801.
С помощью рисунка 71 разъясните смысл формулы (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 для положительных а и b удовлетворяющих условию a > b.
💡 Подсказка (без ответа)
Начни с большого квадрата площадью a². Представь, что от его сторон отрезают полоски. Посчитай площадь оставшегося квадрата и площади срезанных прямоугольников.
Решение по шагам
Смысл формулы (a − b)² = a² − 2ab + b² объясняется геометрически через площадь квадрата.
Представим себе квадрат со стороной a. Его площадь равна a².
Теперь отрежем от этого квадрата с одной стороны полоску шириной b. Получится прямоугольник со сторонами a и (a − b). Его площадь равна a(a − b).
Далее отрежем ещё одну полоску шириной b с соседней стороны от оставшегося прямоугольника. Получится прямоугольник со сторонами (a − b) и (a − b), то есть квадрат со стороной (a − b). Его площадь равна (a − b)².
Проследим, что мы отрезали:
- Первая полоска: прямоугольник со сторонами a и b, площадь = ab
- Вторая полоска: прямоугольник со сторонами (a − b) и b, площадь = (a − b)b
Общая площадь отрезанных полосок = ab + (a − b)b = ab + ab − b² = 2ab − b²
Поэтому: (a − b)² = a² − (2ab − b²) = a² − 2ab + b²
Это и доказывает формулу геометрически.