Номер 792 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 792.
Докажите, что:
а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;
б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте последовательные степени переменной (например, 2^n, 2^(n+1), 2^(n+2)) и вынесите общий множитель за скобки. После упрощения в скобках должно остаться число, которое вместе с оставшейся степенью даст искомый делитель.
Решение по шагам
Пункт а) Сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 14
Обозначим три последовательные степени числа 2 с натуральными показателями как 2^n, 2^(n+1), 2^(n+2), где n — натуральное число.
Напишем их сумму: 2^n + 2^(n+1) + 2^(n+2)
Вынесем общий множитель 2^n за скобки: 2^n(1 + 2 + 4) = 2^n · 7
Теперь нужно показать, что это выражение делится на 14. Заметим, что 14 = 2 · 7.
Мы получили: 2^n · 7
Поскольку n — натуральное число, то n ≥ 1, значит 2^n = 2 · 2^(n-1).
Тогда: 2^n · 7 = 2 · 2^(n-1) · 7 = 14 · 2^(n-1)
Это число делится на 14. ✓
Пункт б) Сумма двух последовательных степеней числа 5 делится на 30
Обозначим две последовательные степени числа 5 как 5^n и 5^(n+1), где n — натуральное число.
Напишем их сумму: 5^n + 5^(n+1)
Вынесем общий множитель 5^n за скобки: 5^n(1 + 5) = 5^n · 6
Теперь нужно показать, что это выражение делится на 30. Заметим, что 30 = 5 · 6.
Мы получили: 5^n · 6
Поскольку n — натуральное число, то n ≥ 1, значит 5^n = 5 · 5^(n-1).
Тогда: 5^n · 6 = 5 · 5^(n-1) · 6 = 30 · 5^(n-1)
Это число делится на 30. ✓
Редакция 2019
№ 792.
Представьте в виде произведения:
а) ma − mb + na − nb + pa − pb. б) ax − bx − cx + ay − by − cy. в) x2 + ax2 − y − ay + cx2 − cy. г) ax2 + 2y − bx2 + ay + 2x2 − by.