Номер 789 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 789.
Докажите, что значение выражения а2 − а кратно 2 при любом целом а.
💡 Подсказка (без ответа)
Разложите левую часть выражения на множители. Заметьте, что получится произведение двух последовательных целых чисел. Какое из двух последовательных чисел всегда чётное?
Решение по шагам
Докажем, что выражение a² − a кратно 2 при любом целом a.
Шаг 1. Разложим выражение на множители. a² − a = a(a − 1)
Шаг 2. Анализируем произведение a(a − 1). Мы получили произведение двух множителей: a и (a − 1). Это два последовательных целых числа.
Шаг 3. Вспомним свойство последовательных чисел. Из двух любых последовательных целых чисел одно всегда чётное, а другое — нечётное.
Шаг 4. Делаем вывод. Если одно из чисел a или (a − 1) чётное, то произведение a(a − 1) делится на 2.
Примеры: • Если a = 5, то a(a − 1) = 5 · 4 = 20 (делится на 2, так как 4 чётное) • Если a = 6, то a(a − 1) = 6 · 5 = 30 (делится на 2, так как 6 чётное)
Следовательно, a² − a кратно 2 при любом целом a. Доказано.
Редакция 2019
№ 789.
Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 см2. Найдите площадь первоначального прямоугольника.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь длину и ширину прямоугольника переменными. Используй условие о периметре, чтобы выразить одну переменную через другую. Затем составь уравнение, используя условие об изменении площади.
Решение по шагам
Обозначим длину прямоугольника как a см, а ширину как b см.
Из условия о периметре составим первое уравнение: Периметр = 2(a + b) = 30 Упрощаем: a + b = 15 Отсюда: b = 15 - a
Составим второе уравнение из условия об изменении площади: Первоначальная площадь: S₁ = a × b Новые размеры: длина (a - 3), ширина (b + 5) Новая площадь: S₂ = (a - 3)(b + 5)
По условию площадь уменьшится на 8 см²: S₁ - S₂ = 8 a × b - (a - 3)(b + 5) = 8
Раскроем скобки: a × b - (ab + 5a - 3b - 15) = 8 ab - ab - 5a + 3b + 15 = 8 -5a + 3b + 15 = 8 -5a + 3b = -7 3b - 5a = -7
Подставим b = 15 - a: 3(15 - a) - 5a = -7 45 - 3a - 5a = -7 45 - 8a = -7 -8a = -52 a = 6,5 см
Найдём ширину: b = 15 - 6,5 = 8,5 см
Проверка периметра: 2(6,5 + 8,5) = 2 × 15 = 30 см ✓
Проверка площади: Первоначальная площадь: 6,5 × 8,5 = 55,25 см² Новые размеры: 6,5 - 3 = 3,5 см; 8,5 + 5 = 13,5 см Новая площадь: 3,5 × 13,5 = 47,25 см² Разница: 55,25 - 47,25 = 8 см² ✓
Площадь первоначального прямоугольника: S = 6,5 × 8,5 = 55,25 см²