Номер 785 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 785.
Разложите на множители:
а) (а − 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b);
б) (x + 8y)(2x − 5b) − 8y(2x − 5b);
в) 7a2(a − x) + (6a2 − ax)( x − a);
г) 11b2(3b − y) − (6y − 3b2)(y − 3b).
Редакция 2019
№ 785.
Докажите, что:
а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте четыре последовательных целых числа переменной n, а три нечётных — переменной a. Затем раскройте скобки и упростите полученные выражения.
Решение по шагам
а) Произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел.
Обозначим четыре последовательных целых числа: n, n+1, n+2, n+3
Крайние числа: n и n+3 Два средних числа: n+1 и n+2
Произведение крайних чисел: n(n+3) = n² + 3n
Произведение двух средних чисел: (n+1)(n+2) = n² + 2n + n + 2 = n² + 3n + 2
Найдём разность: (n+1)(n+2) - n(n+3) = (n² + 3n + 2) - (n² + 3n) = 2
Это доказывает, что произведение двух средних чисел на 2 больше произведения крайних.
б) Квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.
Обозначим три последовательных нечётных числа: 2m-1, 2m+1, 2m+3 (или проще: a-2, a, a+2, где a — нечётное)
Удобнее использовать вторую запись. Пусть средний член это a, тогда: Крайние числа: a-2 и a+2 Средний (среднее) число: a
Квадрат среднего числа: a²
Произведение крайних чисел: (a-2)(a+2) = a² - 4
Найдём разность: a² - (a² - 4) = a² - a² + 4 = 4
Это доказывает, что квадрат среднего числа на 4 больше произведения крайних чисел.