Номер 776 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 776.
Из А в В одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого. Мотоциклист, который первый прибыл в В, сразу же отправился обратно. Другого мотоциклиста он встретил через 2 ч 24 мин после выезда из А. Расстояние между А и В равно 120 км. Найдите скорости мотоциклистов и расстояние от места встречи до В.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь скорость медленного мотоциклиста как x км/ч, тогда быстрого — 1,5x км/ч. Переведи время 2 ч 24 мин в часы (2,4 ч). За этот общий промежуток времени оба мотоциклиста вместе проехали двойное расстояние между городами: один полностью (туда), другой — туда и частично обратно. Составь уравнение на основе этого условия.
Решение по шагам
Обозначим скорость более медленного мотоциклиста как x км/ч, тогда скорость более быстрого — 1,5x км/ч.
Переведём время встречи в часы: 2 ч 24 мин = 2 + 24/60 = 2 + 2/5 = 2,4 ч
Фастный мотоциклист (со скоростью 1,5x):
- Проехал от А до В: расстояние 120 км
- Время в пути до В: 120/(1,5x) ч
- Затем повернул обратно
- После поворота ехал обратно некоторое время до встречи
Медленный мотоциклист (со скоростью x):
- Ехал 2,4 ч из А в сторону В
- За это время проехал: x · 2,4 км
Медленный мотоциклист не доехал до В, встретился с быстрым на обратном пути.
Когда произошла встреча, оба вместе проехали расстояние в 2 раза больше расстояния АВ (один туда, второй туда и частично обратно, в сумме 120 + расстояние от встречи до В + расстояние от встречи до В = 120 + 2·расстояние от встречи до В).
За 2,4 ч суммарно оба мотоциклиста проехали: (1,5x + x) · 2,4 = 2,5x · 2,4 = 6x км
При встрече сумма расстояний, пройденных обоими, равна 120 + 120 = 240 км (полный путь туда-обратно).
6x = 240 x = 40 км/ч — скорость медленного мотоциклиста 1,5x = 60 км/ч — скорость быстрого мотоциклиста
Проверка:
- Быстрый доехал до В: 120/60 = 2 ч
- За 2,4 ч медленный проехал: 40 · 2,4 = 96 км (не дошёл до В, остаток 24 км)
- Быстрый повернул и за (2,4 - 2) = 0,4 ч проехал обратно: 60 · 0,4 = 24 км
- Это ровно остаток пути до В медленного ✓
Расстояние от места встречи до В: Медленный был в 96 км от А, значит, на расстоянии 120 - 96 = 24 км от В. И быстрый проехал ровно эти 24 км обратно, встретившись с ним.
Редакция 2019
№ 776.
Докажите, что:
а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14; б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.
💡 Подсказка (без ответа)
Вынесите общий множитель за скобки: в первом случае это 2^n, во втором — 5^m. Затем посчитайте, что получилось в скобках, и проверьте делимость на требуемое число.
Решение по шагам
Задание №776: Доказательство делимости
а) Сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 14
Пусть три последовательные степени числа 2 — это 2^n, 2^(n+1), 2^(n+2), где n — натуральное число.
Найдём их сумму: 2^n + 2^(n+1) + 2^(n+2)
Вынесем общий множитель 2^n за скобки: 2^n(1 + 2 + 2²) = 2^n(1 + 2 + 4) = 2^n · 7
Мы получили 2^n · 7.
Так как n — натуральное число, то n ≥ 1, значит 2^n содержит множитель 2.
Поэтому 2^n · 7 = 2 · (2^(n-1) · 7), что делится на 2 · 7 = 14.
Сумма делится на 14. Доказано.
б) Сумма двух последовательных степеней числа 5 делится на 30
Пусть две последовательные степени числа 5 — это 5^m и 5^(m+1), где m — натуральное число.
Найдём их сумму: 5^m + 5^(m+1)
Вынесем общий множитель 5^m за скобки: 5^m(1 + 5) = 5^m · 6
Мы получили 5^m · 6.
Так как m — натуральное число, то m ≥ 1, значит 5^m содержит множитель 5.
Поэтому 5^m · 6 = 5 · (5^(m-1) · 6), что можно переписать как произведение, содержащее множители 5 и 6.
Произведение 5 · 6 = 30.
Сумма делится на 30. Доказано.