Номер 749 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 749.
Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, что 6 = 2 × 3. Значит, нужно отдельно доказать делимость на 2 и на 3. Для делимости на 3 рассмотри три случая: когда n делится на 3, когда n дает остаток 1, и когда n дает остаток 2 при делении на 3.
Решение по шагам
Нужно доказать, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) всегда делится на 6 при любом натуральном n.
Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться и на 2, и на 3 (так как 6 = 2 × 3).
Шаг 1: Доказываем делимость на 2
Рассмотрим множитель n. Он может быть либо чётным, либо нечётным.
- Если n чётное, то n делится на 2, и всё произведение делится на 2.
- Если n нечётное, то 2n — чётное число, значит (2n + 1) — нечётное. А (7n + 1): если n нечётное, то 7n нечётное, поэтому (7n + 1) — чётное.
В любом случае произведение содержит чётный множитель, значит оно делится на 2.
Шаг 2: Доказываем делимость на 3
Рассмотрим остатки от деления n на 3. Число n может давать остаток 0, 1 или 2.
Случай 1: n ≡ 0 (mod 3) Тогда n делится на 3, и всё произведение делится на 3.
Случай 2: n ≡ 1 (mod 3) Тогда 2n ≡ 2 (mod 3), значит 2n + 1 ≡ 0 (mod 3). Множитель (2n + 1) делится на 3, и всё произведение делится на 3.
Случай 3: n ≡ 2 (mod 3) Тогда 7n ≡ 7 · 2 ≡ 14 ≡ 2 (mod 3), значит 7n + 1 ≡ 0 (mod 3). Множитель (7n + 1) делится на 3, и всё произведение делится на 3.
Вывод: Произведение n(2n + 1)(7n + 1) всегда делится и на 2, и на 3, следовательно, оно делится на 6 при любом натуральном n.
Редакция 2019
№ 749.
К трёхзначному числу слева приписали цифру 5 и из полученного четырёхзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая больше трёхзначного числа в 9 раз. Найдите это трёхзначное число.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь трёхзначное число буквой x. Вспомни, как записать число, к которому слева приписана цифра 5 (это будет 5000 + x). Затем составь уравнение на основе условия про разность.
Решение по шагам
Обозначим трёхзначное число через x.
Шаг 1. Когда к числу слева приписали цифру 5, получилось четырёхзначное число. Если x — трёхзначное число, то новое число можно записать как 5000 + x.
Пример: если x = 234, то приписав 5 слева, получим 5234 = 5000 + 234.
Шаг 2. Из полученного числа вычли 3032: (5000 + x) - 3032 = 5000 + x - 3032 = 1968 + x
Шаг 3. По условию эта разность в 9 раз больше исходного числа x: 1968 + x = 9x
Шаг 4. Решаем уравнение: 1968 + x = 9x 1968 = 9x - x 1968 = 8x x = 1968 : 8 x = 246
Шаг 5. Проверка:
- Исходное число: 246
- Приписываем 5 слева: 5246
- Вычитаем 3032: 5246 - 3032 = 2214
- Проверим, в 9 раз ли больше: 246 × 9 = 2214 ✓
Всё верно!