Номер 745 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 745.
Верно ли, что при любых целых значениях а и b произвдение ab(a + b)(a − b) делится на 3?
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, что каждое целое число при делении на 3 дает остаток 0, 1 или 2. Рассмотри все возможные случаи для остатков чисел a и b, и посмотри, какой из множителей (a, b, a + b или a − b) в каждом случае будет делиться на 3.
Решение по шагам
Проверим, делится ли произведение ab(a + b)(a − b) на 3 при любых целых a и b.
Вспомним: число делится на 3, если хотя бы один из его множителей делится на 3.
Рассмотрим любые два целых числа a и b. Каждое целое число при делении на 3 дает остаток 0, 1 или 2.
Проверим, что среди чисел a, b, (a + b), (a − b) всегда найдется хотя бы одно, делящееся на 3.
Разберем по остаткам:
Если a делится на 3 → произведение делится на 3 ✓
Если b делится на 3 → произведение делится на 3 ✓
Если ни a, ни b не делятся на 3, то каждое имеет остаток 1 или 2 при делении на 3.
Если оба имеют остаток 1: a ≡ 1 (mod 3) и b ≡ 1 (mod 3) Тогда (a + b) ≡ 1 + 1 = 2 (mod 3) и (a − b) ≡ 1 − 1 = 0 (mod 3) Значит, (a − b) делится на 3 ✓
Если оба имеют остаток 2: a ≡ 2 (mod 3) и b ≡ 2 (mod 3) Тогда (a + b) ≡ 2 + 2 = 4 ≡ 1 (mod 3) и (a − b) ≡ 2 − 2 = 0 (mod 3) Значит, (a − b) делится на 3 ✓
Если один имеет остаток 1, другой остаток 2: Тогда (a + b) ≡ 1 + 2 = 3 ≡ 0 (mod 3) Значит, (a + b) делится на 3 ✓
Во всех случаях хотя бы один из множителей делится на 3, поэтому всё произведение делится на 3.
Ответ: ДА, верно.
Редакция 2019
№ 745.
Решите уравнение:
а) (4 − 2x) + (5x − 3) = (x − 2) − (x + 3);
б) 5 − 3y − (4 − 2y) = y − 8 − (y − 1);
в) 
г) −3,6 − (1,5x + 1) = −4x − 0,8 − (0,4x − 2).