Номер 744 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 744.
Докажите, что если целые числа а и b при делении на 3 дают разные остатки (не равные нулю), то число ab + 1 делится на 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй представление чисел с остатками: если число дает остаток r при делении на 3, то его можно записать как 3q + r. По условию один из чисел имеет остаток 1, другой — остаток 2. Подставь эти представления в выражение ab + 1 и раскрой скобки.
Решение по шагам
Рассмотрим остатки при делении целых чисел на 3. Каждое число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.
По условию задачи, числа a и b при делении на 3 дают разные остатки, не равные нулю. Это значит, что один из них дает остаток 1, а другой — остаток 2.
Случай 1: a дает остаток 1, b дает остаток 2
Запишем a = 3k + 1 и b = 3m + 2 для некоторых целых чисел k и m.
Вычислим ab + 1: ab + 1 = (3k + 1)(3m + 2) + 1 ab + 1 = 9km + 6k + 3m + 2 + 1 ab + 1 = 9km + 6k + 3m + 3 ab + 1 = 3(3km + 2k + m + 1)
Получили, что ab + 1 можно представить как произведение 3 на целое число (3km + 2k + m + 1). Значит, ab + 1 делится на 3.
Случай 2: a дает остаток 2, b дает остаток 1
Запишем a = 3k + 2 и b = 3m + 1 для некоторых целых чисел k и m.
Вычислим ab + 1: ab + 1 = (3k + 2)(3m + 1) + 1 ab + 1 = 9km + 3k + 6m + 2 + 1 ab + 1 = 9km + 3k + 6m + 3 ab + 1 = 3(3km + k + 2m + 1)
Опять получили, что ab + 1 = 3 × (целое число), поэтому ab + 1 делится на 3.
Оба случая дают одинаковый результат — число ab + 1 всегда делится на 3.
Заключение: Доказано, что если целые числа a и b при делении на 3 дают разные остатки, не равные нулю (т. е. один дает остаток 1, другой остаток 2), то число ab + 1 делится на 3.
Редакция 2019
№ 744.
Докажите, что:
💡 Подсказка (без ответа)
Представь двузначные числа ab и ba через их разряды: ab = 10a + b, ba = 10b + a. Затем найди сумму и разность, вынося общий множитель за скобки.
Решение по шагам
Давайте разберём оба пункта этого задания по шагам.
Пункт а) Сумма чисел ab и ba кратна сумме a и b
Шаг 1: Запишем, что такое двузначные числа ab и ba в виде суммы разрядов.
- Число ab = 10a + b (десятки и единицы)
- Число ba = 10b + a (десятки и единицы)
Шаг 2: Найдём сумму этих чисел. ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 10a + a + b + 10b = 11a + 11b
Шаг 3: Вынесем общий множитель. 11a + 11b = 11(a + b)
Шаг 4: Делаем вывод. Сумма ab + ba = 11(a + b), то есть делится на (a + b) нацело. Значит, сумма чисел ab и ba кратна сумме a и b. ✓
Пункт б) Разность чисел ab и ba кратна 9
Шаг 1: Запишем двузначные числа в виде суммы разрядов (как в пункте а).
- Число ab = 10a + b
- Число ba = 10b + a
Шаг 2: Найдём разность этих чисел (предположим, что ab > ba, то есть a > b). ab - ba = (10a + b) - (10b + a) = 10a - a + b - 10b = 9a - 9b
Шаг 3: Вынесем общий множитель. 9a - 9b = 9(a - b)
Шаг 4: Делаем вывод. Разность ab - ba = 9(a - b), то есть делится на 9 нацело. Значит, разность чисел ab и ba кратна 9. ✓