Номер 733 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 733.
Разложите на множители многочлен:
а) x2y + x + xy2 + y + 2xy + 2;
б) x2 − xy + x − xy2 + y3 − y2.
Редакция 2019
№ 733.
Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.
💡 Подсказка (без ответа)
Разложи 6 на множители: 6 = 2 · 3. Отдельно докажи делимость на 2 и на 3. Для делимости на 3 рассмотри, какой остаток даёт n при делении на 3 (может быть 0, 1 или 2), и проверь каждый случай.
Решение по шагам
Нужно доказать, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) всегда делится на 6 = 2 · 3, то есть делится и на 2, и на 3.
Шаг 1. Делимость на 2
Рассмотрим множитель n.
- Если n чётное, то n делится на 2, значит, всё произведение делится на 2.
- Если n нечётное, то:
- 2n нечётное
- 2n + 1 чётное (нечётное + 1 = чётное)
- Значит, (2n + 1) делится на 2, и всё произведение делится на 2.
Вывод: произведение всегда делится на 2.
Шаг 2. Делимость на 3
Любое натуральное число при делении на 3 даёт остаток 0, 1 или 2. То есть n может быть вида:
- n = 3k (остаток 0)
- n = 3k + 1 (остаток 1)
- n = 3k + 2 (остаток 2)
Случай 1: n = 3k Тогда n делится на 3, значит, всё произведение делится на 3.
Случай 2: n = 3k + 1 Тогда 7n + 1 = 7(3k + 1) + 1 = 21k + 7 + 1 = 21k + 8 = 3(7k + 2) + 2 Нет, пересчитаем: 7n + 1 = 7(3k + 1) + 1 = 21k + 8 21k делится на 3, а 8 = 3 · 2 + 2, не подходит.
Проверим (2n + 1): 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1) Становится делится на 3!
Случай 3: n = 3k + 2 Тогда 7n + 1 = 7(3k + 2) + 1 = 21k + 15 = 3(7k + 5) Делится на 3!
Вывод: произведение всегда делится на 3.
Шаг 3. Заключение
Произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится и на 2, и на 3. Поскольку 2 и 3 — взаимно простые, произведение делится на 2 · 3 = 6 при любом натуральном n.