Номер 729 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 729.
Найдите значение выражения:
а) p2q2 + pq − q3 − p3 при p = 0,5 и q = −0,5;
б) 3x3 − 2y3 − 6x2y2 + xy при х = 2/3 и у = 1/2.
💡 Подсказка (без ответа)
Подставь значения p и q (или x и y) в выражение и вычисли степени. Помни: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, в чётной — становится положительным. Затем сложи все полученные числа, приведя их к общему знаменателю для дробей.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Задание №729
а) Найти p²q² + pq − q³ − p³ при p = 0,5 и q = −0,5
Шаг 1. Подставим значения p = 0,5 и q = −0,5 в выражение.
Шаг 2. Вычислим каждое слагаемое:
• p²q² = (0,5)² · (−0,5)² = 0,25 · 0,25 = 0,0625
• pq = 0,5 · (−0,5) = −0,25
• −q³ = −(−0,5)³ = −(−0,125) = 0,125
• −p³ = −(0,5)³ = −0,125
Шаг 3. Складываем все части:
0,0625 + (−0,25) + 0,125 + (−0,125) = 0,0625 − 0,25 + 0,125 − 0,125
= 0,0625 − 0,25 = −0,1875
б) Найти 3x³ − 2y³ − 6x²y² + xy при х = 2/3 и у = 1/2
Шаг 1. Подставим значения х = 2/3 и у = 1/2 в выражение.
Шаг 2. Вычислим каждое слагаемое:
• x³ = (2/3)³ = 8/27
• 3x³ = 3 · 8/27 = 24/27 = 8/9
• y³ = (1/2)³ = 1/8
• 2y³ = 2 · 1/8 = 2/8 = 1/4
• x² = (2/3)² = 4/9
• y² = (1/2)² = 1/4
• x²y² = 4/9 · 1/4 = 4/36 = 1/9
• 6x²y² = 6 · 1/9 = 6/9 = 2/3
• xy = 2/3 · 1/2 = 2/6 = 1/3
Шаг 3. Складываем все части:
8/9 − 1/4 − 2/3 + 1/3
Шаг 4. Найдём общий знаменатель (это 36):
8/9 = 32/36
1/4 = 9/36
2/3 = 24/36
1/3 = 12/36
Шаг 5. Вычисляем:
32/36 − 9/36 − 24/36 + 12/36 = (32 − 9 − 24 + 12)/36 = 11/36
Редакция 2019
№ 729.
Верно ли, что при любых целых значениях а и b произведение ab(a + b)(a − b) делится на 3?
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, что любое целое число при делении на 3 дает остаток 0, 1 или 2. Рассмотри все возможные случаи остатков для чисел a и b, и проверь, делится ли на 3 хотя бы один из множителей в каждом случае.
Решение по шагам
Нужно доказать, что произведение ab(a + b)(a − b) всегда делится на 3 при любых целых a и b.
Шаг 1: Вспомним, что любое целое число при делении на 3 дает остаток 0, 1 или 2. То есть любое целое число имеет вид: 3k, 3k + 1 или 3k + 2 (где k — целое число).
Шаг 2: Рассмотрим произведение ab(a + b)(a − b). Среди четырех множителей a, b, (a + b), (a − b) нужно найти хотя бы один, который делится на 3.
Шаг 3: Посмотрим на остатки от деления чисел a и b на 3.
Если хотя бы одно из чисел a или b делится на 3, то весь продукт делится на 3. ✓
Шаг 4: Пусть ни a, ни b не делятся на 3. Тогда:
- a имеет остаток 1 или 2 при делении на 3
- b имеет остаток 1 или 2 при делении на 3
Шаг 5: Проверим все случаи:
Случай 1: a ≡ 1 (mod 3) и b ≡ 1 (mod 3) Тогда (a − b) ≡ 1 − 1 ≡ 0 (mod 3) ✓ Делится на 3!
Случай 2: a ≡ 1 (mod 3) и b ≡ 2 (mod 3) Тогда (a + b) ≡ 1 + 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3) ✓ Делится на 3!
Случай 3: a ≡ 2 (mod 3) и b ≡ 1 (mod 3) Тогда (a + b) ≡ 2 + 1 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3) ✓ Делится на 3!
Случай 4: a ≡ 2 (mod 3) и b ≡ 2 (mod 3) Тогда (a − b) ≡ 2 − 2 ≡ 0 (mod 3) ✓ Делится на 3!
Шаг 6: Во всех возможных случаях хотя бы один множитель делится на 3, поэтому всё произведение делится на 3.