Номер 728 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 728.
Представьте в виде произведения многочлен:
а) mn − mk + xk − xn;
б) x2 + 7x − ax − 7a;
в) 3m − mk + 3k − k2;
г) xk − xy − x2 + yk.
💡 Подсказка (без ответа)
В каждом примере нужно сгруппировать по два члена так, чтобы вынести общий множитель. После этого из обеих групп можно вынести ещё один общий множитель — и готово произведение!
Решение по шагам
Это задание на разложение многочленов способом группировки. Нужно сгруппировать члены так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель.
а) mn − mk + xk − xn
Сгруппируем первые два и последние два члена: (mn − mk) + (xk − xn)
Вынесем общий множитель из каждой группы: m(n − k) + x(k − n)
Видим, что (k − n) = −(n − k), поэтому: m(n − k) − x(n − k)
Теперь вынесем общий множитель (n − k): (n − k)(m − x)
б) x² + 7x − ax − 7a
Сгруппируем: (x² + 7x) − (ax + 7a)
Вынесем общий множитель из каждой группы: x(x + 7) − a(x + 7)
Вынесем общий множитель (x + 7): (x + 7)(x − a)
в) 3m − mk + 3k − k²
Сгруппируем: (3m − mk) + (3k − k²)
Вынесем общий множитель из каждой группы: m(3 − k) + k(3 − k)
Вынесем общий множитель (3 − k): (3 − k)(m + k)
г) xk − xy − x² + yk
Перевставим члены удобнее: (xk + yk) − (xy + x²)
Вынесем общий множитель из каждой группы: k(x + y) − x(y + x)
Вынесем общий множитель (x + y): (x + y)(k − x)
Редакция 2019
№ 728.
Докажите, что если целые числа а и b при делении на 3 дают различные остатки (отличные от нуля), то число ab + 1 делится на 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Представь числа a и b в виде a = 3k + r₁ и b = 3m + r₂, где r₁ и r₂ — остатки при делении на 3. По условию r₁ ≠ r₂ и оба отличны от нуля. Какие значения они могут принимать? Раскрой скобки в произведении ab + 1 и покажи, что оно делится на 3.
Решение по шагам
Решим эту задачу пошагово.
Шаг 1. Вспомним, какие остатки возможны при делении на 3
Любое целое число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.
Шаг 2. Запишем условия задачи
По условию:
- числа a и b при делении на 3 дают различные остатки
- эти остатки отличны от нуля
Значит, один из них дает остаток 1, а другой — остаток 2.
Шаг 3. Выразим a и b через остатки
Возможны два случая:
Случай 1: a дает остаток 1, b дает остаток 2
- a = 3k + 1 (где k — целое число)
- b = 3m + 2 (где m — целое число)
Случай 2: a дает остаток 2, b дает остаток 1
- a = 3k + 2
- b = 3m + 1
Шаг 4. Найдем ab + 1 для каждого случая
Для Случая 1:
ab + 1 = (3k + 1)(3m + 2) + 1
Раскроем скобки: ab + 1 = 9km + 6k + 3m + 2 + 1 ab + 1 = 9km + 6k + 3m + 3 ab + 1 = 3(3km + 2k + m + 1)
Получили произведение на 3, значит ab + 1 делится на 3.
Для Случая 2:
ab + 1 = (3k + 2)(3m + 1) + 1
Раскроем скобки: ab + 1 = 9km + 3k + 6m + 2 + 1 ab + 1 = 9km + 3k + 6m + 3 ab + 1 = 3(3km + k + 2m + 1)
И снова получили произведение на 3, значит ab + 1 делится на 3.
Шаг 5. Вывод
В обоих случаях число ab + 1 имеет делитель 3, то есть делится на 3.
Что и требовалось доказать. ∎