Номер 718 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 718.
Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь длину через a, ширину через b. Используй два условия: периметр равен 70 см и площадь увеличится на 50 см². Получишь систему из двух линейных уравнений.
Решение по шагам
Обозначим длину прямоугольника буквой a см, а ширину буквой b см.
Шаг 1. Составим уравнение из условия про периметр. Периметр прямоугольника: 2a + 2b = 70 Упростим: a + b = 35
Шаг 2. Составим уравнение из условия про площадь. Первоначальная площадь: S₁ = ab После изменений длина станет (a - 5) см, ширина станет (b + 5) см. Новая площадь: S₂ = (a - 5)(b + 5) По условию: S₂ - S₁ = 50
(a - 5)(b + 5) - ab = 50 Раскроем скобки: ab + 5a - 5b - 25 - ab = 50 Упростим: 5a - 5b - 25 = 50 5a - 5b = 75 a - b = 15
Шаг 3. Решим систему двух уравнений. a + b = 35 a - b = 15
Сложим оба уравнения: 2a = 50 a = 25
Шаг 4. Найдём ширину. Подставим a = 25 в первое уравнение: 25 + b = 35 b = 10
Шаг 5. Проверка. Периметр: 2(25) + 2(10) = 50 + 20 = 70 ✓ Первоначальная площадь: 25 × 10 = 250 см² Новая площадь: (25 - 5)(10 + 5) = 20 × 15 = 300 см² Разница: 300 - 250 = 50 см² ✓
Редакция 2019
№ 718.
Разложите на множители трёхчлен:
а) x2 + 6x + 5. б) x2 − x − 6. в) а2 − 5а + 4. г) а2 − 6а − 16.
💡 Подсказка (без ответа)
Представь трёхчлен в виде (x + m)(x + n), где m и n — числа. Найди их так: m · n должно равняться свободному члену, а m + n должно равняться коэффициенту при x (или а). Проверь, раскрыв скобки.
Решение по шагам
Нужно разложить трёхчлен на множители. Используем метод подбора: ищем два числа, которые при умножении дают свободный член, а при сложении (или вычитании) дают коэффициент при переменной первой степени.
а) x² + 6x + 5
Ищем два числа, которые:
- перемножаются и дают 5
- складываются и дают 6
Это числа 1 и 5 (потому что 1 · 5 = 5 и 1 + 5 = 6)
Ответ: x² + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)
б) x² − x − 6
Ищем два числа, которые:
- перемножаются и дают −6
- складываются и дают −1
Это числа −3 и 2 (потому что −3 · 2 = −6 и −3 + 2 = −1)
Ответ: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
в) а² − 5а + 4
Ищем два числа, которые:
- перемножаются и дают 4
- складываются и дают −5
Это числа −4 и −1 (потому что −4 · (−1) = 4 и −4 + (−1) = −5)
Ответ: а² − 5а + 4 = (а − 4)(а − 1)
г) а² − 6а − 16
Ищем два числа, которые:
- перемножаются и дают −16
- складываются и дают −6
Это числа −8 и 2 (потому что −8 · 2 = −16 и −8 + 2 = −6)
Ответ: а² − 6а − 16 = (а − 8)(а + 2)