Номер 715 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 715.
Докажите, что:
а) при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) кратно 6;
б) при любом натуральном значение n, большем 2, значение выражения (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) кратно 12.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте все скобки в обоих выражениях, применяя правило умножения многочленов. Приведите подобные слагаемые и вынесите общий множитель 6 или 12 за скобки.
Решение по шагам
Решаем оба пункта пошагово.
Пункт а) Докажите, что n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) кратно 6
Шаг 1. Раскроем скобки в первом произведении: n(n + 5) = n² + 5n
Шаг 2. Раскроем скобки во втором произведении: (n − 3)(n + 2) = n² + 2n − 3n − 6 = n² − n − 6
Шаг 3. Найдём разность: n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) = (n² + 5n) − (n² − n − 6) = n² + 5n − n² + n + 6 = 6n + 6 = 6(n + 1)
Шаг 4. Вывод: Мы получили 6(n + 1), это произведение 6 на натуральное число (n + 1). Значит, выражение всегда делится на 6, то есть кратно 6. ✓
Пункт б) Докажите, что (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) кратно 12 при n > 2
Шаг 1. Раскроем скобки в первом произведении: (n − 1)(n + 1) = n² − 1
Шаг 2. Раскроем скобки во втором произведении: (n − 7)(n − 5) = n² − 5n − 7n + 35 = n² − 12n + 35
Шаг 3. Найдём разность: (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) = (n² − 1) − (n² − 12n + 35) = n² − 1 − n² + 12n − 35 = 12n − 36 = 12(n − 3)
Шаг 4. Вывод: Мы получили 12(n − 3), это произведение 12 на число (n − 3). Так как n > 2, то (n − 3) — натуральное число (или ноль, но при n ≥ 3 это натуральное число). Значит, выражение всегда делится на 12, то есть кратно 12. ✓
Редакция 2019
№ 715.
Докажите тождество:
а) ax − y + x − ay = (x − y)(a + 1). б) ax − 2by + ay − 2bx = (a − 2b)(x + y).
💡 Подсказка (без ответа)
Переставьте слагаемые так, чтобы удобнее было вынимать общий множитель. Сначала вынесите множитель из пар слагаемых, потом вынесите общий множитель из всего выражения.
Решение по шагам
а) ax − y + x − ay = (x − y)(a + 1)
Нужно доказать, что левая часть равна правой. Возьмем левую часть и преобразуем её.
Левая часть: ax − y + x − ay
Переставим слагаемые удобнее: ax + x − ay − y
Вынесем общий множитель из первых двух слагаемых и из последних двух: x(a + 1) − y(a + 1)
Теперь вынесем общий множитель (a + 1) из обоих слагаемых: (a + 1)(x − y)
Это то же самое, что (x − y)(a + 1), так как умножение коммутативно (переместительно).
Левая часть = Правая часть ✓
б) ax − 2by + ay − 2bx = (a − 2b)(x + y)
Возьмем левую часть: ax − 2by + ay − 2bx
Переставим слагаемые удобнее: ax + ay − 2bx − 2by
Вынесем общий множитель из первых двух слагаемых и из последних двух: a(x + y) − 2b(x + y)
Теперь вынесем общий множитель (x + y) из обоих слагаемых: (x + y)(a − 2b)
Это то же самое, что (a − 2b)(x + y).
Левая часть = Правая часть ✓