Номер 712 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 712.
Пусть, а,b, c и d – четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность cd − ab кратна 16.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте первое нечётное число как a, тогда остальные будут a + 2, a + 4, a + 6. Раскройте скобки в произведениях cd и ab, найдите их разность и вынесите множитель 8.
Решение по шагам
Обозначим четыре последовательных нечётных числа через a, b, c и d.
Поскольку нечётные числа отличаются на 2, то:
- a = некоторое нечётное число
- b = a + 2
- c = a + 4
- d = a + 6
Теперь вычислим cd − ab:
cd = (a + 4)(a + 6) = a² + 6a + 4a + 24 = a² + 10a + 24
ab = a(a + 2) = a² + 2a
cd − ab = (a² + 10a + 24) − (a² + 2a) = a² + 10a + 24 − a² − 2a = 8a + 24
Вынесем общий множитель: cd − ab = 8a + 24 = 8(a + 3)
Теперь нужно доказать, что 8(a + 3) делится на 16, то есть что (a + 3) делится на 2.
Поскольку a — нечётное число, его можно записать как a = 2k + 1, где k — целое число.
Тогда: a + 3 = (2k + 1) + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2)
Это чётное число (делится на 2).
Следовательно: cd − ab = 8(a + 3) = 8 · 2(k + 2) = 16(k + 2)
Поскольку cd − ab = 16(k + 2), где k + 2 — целое число, разность cd − ab кратна 16. Что и требовалось доказать.
Редакция 2019
№ 712.
Представьте в виде произведения многочлен:
а) mn − mk + xk − xn. б) x2 + 7x − ax − 7a. в) 3m − mk + 3k − k2. г) xk − xy − x2 + yk.