Номер 711 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 711.
Докажите, что при всех целых n значение выражения:
а) n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) делится на 6;
б) n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) делится на 7.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки в обоих произведениях, используя распределительный закон умножения. Затем приведите подобные слагаемые и вынесите общий множитель (6 в первом случае, 7 во втором). Если выражение представимо в виде делителя, умноженного на целое число, то оно делится на этот делитель при любом целом n.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем оба пункта, раскрывая скобки и упрощая выражения.
Пункт а) Докажите, что n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) делится на 6
Шаг 1: Раскроем скобки в первом произведении. n(n − 1) = n² − n
Шаг 2: Раскроем скобки во втором произведении. (n + 3)(n + 2) = n² + 2n + 3n + 6 = n² + 5n + 6
Шаг 3: Найдём разность этих выражений. n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) = (n² − n) − (n² + 5n + 6) = n² − n − n² − 5n − 6 = −6n − 6 = −6(n + 1)
Шаг 4: Анализируем результат. −6(n + 1) — это произведение числа (−6) на целое число (n + 1). Поскольку выражение содержит множитель (−6), оно делится на 6 при любом целом n.
Пункт б) Докажите, что n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) делится на 7
Шаг 1: Раскроем скобки в первом произведении. n(n + 2) = n² + 2n
Шаг 2: Раскроем скобки во втором произведении. (n − 7)(n − 5) = n² − 5n − 7n + 35 = n² − 12n + 35
Шаг 3: Найдём разность этих выражений. n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) = (n² + 2n) − (n² − 12n + 35) = n² + 2n − n² + 12n − 35 = 14n − 35 = 7(2n − 5)
Шаг 4: Анализируем результат. 7(2n − 5) — это произведение числа 7 на целое число (2n − 5). Поскольку выражение содержит множитель 7, оно делится на 7 при любом целом n.
Редакция 2019
№ 711.
Разложите на множители многочлен:
а) x3 + x2 + x + 1. б) y5 − y3 − y2 + 1. в) a4 + 2a3 − a − 2. г) b6 − 3b4 − 2b2 + 6. д) a2 − ab − 8a + 8b. е) ab − 3b + b2 − 3a. ж) 11x − xy + 11y − x2. з) kn − mn − n2 + mk.