Номер 706 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 706.
Докажите, что при любом значении х:
а) значение выражения (х − 3)(х + 7) − (х + 5)(х − 1) равно −16;
б) значение выражения х4 − (х2 − 7)(х2 + 7) равно 49.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки, используя правило произведения многочленов. Приведите подобные слагаемые. Во втором пункте заметьте формулу разности квадратов: (а − b)(а + b) = а² − b².
Решение по шагам
Докажем оба утверждения:
а) Докажем, что (х − 3)(х + 7) − (х + 5)(х − 1) = −16
Раскроем первую скобку (х − 3)(х + 7): х · х + х · 7 − 3 · х − 3 · 7 = х² + 7х − 3х − 21 = х² + 4х − 21
Раскроем вторую скобку (х + 5)(х − 1): х · х − х · 1 + 5 · х − 5 · 1 = х² − х + 5х − 5 = х² + 4х − 5
Подставим в исходное выражение: (х² + 4х − 21) − (х² + 4х − 5)
Раскроем скобки (не забываем про минус): х² + 4х − 21 − х² − 4х + 5
Приведём подобные слагаемые: х² − х² + 4х − 4х − 21 + 5 = −16
Получили −16, значит выражение всегда равно −16 при любом х. ✓
б) Докажем, что х⁴ − (х² − 7)(х² + 7) = 49
Заметим, что (х² − 7)(х² + 7) — это разность квадратов: (а − b)(а + b) = а² − b² Где а = х², b = 7
Применим формулу: (х²)² − 7² = х⁴ − 49
Подставим в исходное выражение: х⁴ − (х⁴ − 49)
Раскроем скобки: х⁴ − х⁴ + 49 = 49
Получили 49, значит выражение всегда равно 49 при любом х. ✓
Редакция 2019
№ 706.
Решите уравнение:
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи каждое уравнение к общему знаменателю, затем умножь обе части на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей. После раскрытия скобок перенеси все переменные в левую часть, числа — в правую.
Решение по шагам
Решение уравнений:
Пункт а) (x - 2)/5 = 2/3 - (3x - 2)/6
Шаг 1. Приведём к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5, 3 и 6 — это 30.
Шаг 2. Умножим обе части уравнения на 30: 30 · (x - 2)/5 = 30 · 2/3 - 30 · (3x - 2)/6
Шаг 3. Упростим: 6(x - 2) = 20 - 5(3x - 2)
Шаг 4. Раскроем скобки: 6x - 12 = 20 - 15x + 10
Шаг 5. Приведём подобные: 6x - 12 = 30 - 15x
Шаг 6. Перенесём переменные и числа: 6x + 15x = 30 + 12 21x = 42
Шаг 7. Разделим обе части на 21: x = 2
Пункт б) (2x - 5)/4 - 1 = (x + 1)/3
Шаг 1. Перепишем левую часть: (2x - 5)/4 - 1 = (2x - 5)/4 - 4/4 = (2x - 5 - 4)/4 = (2x - 9)/4
Шаг 2. Уравнение имеет вид: (2x - 9)/4 = (x + 1)/3
Шаг 3. Приведём к общему знаменателю. Общий знаменатель — 12.
Шаг 4. Умножим обе части на 12: 12 · (2x - 9)/4 = 12 · (x + 1)/3
Шаг 5. Упростим: 3(2x - 9) = 4(x + 1)
Шаг 6. Раскроем скобки: 6x - 27 = 4x + 4
Шаг 7. Перенесём переменные и числа: 6x - 4x = 4 + 27 2x = 31
Шаг 8. Разделим обе части на 2: x = 15,5