Номер 699 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 699.
Представьте в виде многочлена выражение:
а) (х² + ху – у²)(х + у);
б) (n² – np + p²)(n – p);
в) (а + х)(а² – ах – х²);
г) (b – c)(b² – bc – c²);
д) (а² – 2а + 3)(а – 4);
е) (5х – 2)(х² – х – 1);
ж) (2 – 2х + х²)(х + 5);
з) (3у – 4)(у² – у + 1);
а) (х² + ху – у²)(х + у) = х² ∙ х + х² ∙ у + ху ∙ х + ху ∙ у – у² ∙ х – у² ∙ у
= х³ + х²у + х²у + ху² – у²х – у³ = х³ + 2х²у – у³
б) (n² – np + p²)(n – p) = n² ∙ n - n² ∙ p – np ∙ n + np ∙ p + p² ∙ n – p² ∙ p
= n³ – n²p – n²p + np² + p²n – p³ = n³ – 2n²p + 2p²n – p³
в) (а + х)(а² – ах – х²) = а ∙ а² – а ∙ ах – а ∙ х² + х ∙ а² – х ∙ ах – х ∙ х²
= а3 – а²х – ах² + а²х – ах² – х³ = а³ – 2ах² – х³
г) (b – c)(b² – bc – c²) = b ∙ b² – b ∙ bc – b ∙ c² – c ∙ b² + c ∙ bc + c ∙ c²
= b3 – b²c – bc² – cb² + bc² + c³ = b³ – 2b²c + c³
д) (а² – 2а + 3)(а – 4) = а² ∙ а – а² ∙ 4 – 2а ∙ а + 2а ∙ 4 + 3 ∙ а – 3 ∙ 4
= а3 – 4а² – 2а² + 8а + 3а – 12 = а³ – 6а² + 11а – 12
е) (5х – 2)(х² – х – 1) = 5х ∙ х² – 5х ∙ х – 5х ∙ 1 – 2 ∙ х² + 2 ∙ х + 2 ∙ 1
= 5х³ – 5х² – 5х – 2х² + 2х + 2 = 5х³ – 7х² – 3х + 2
ж) (2 – 2х + х²)(х + 5) = 2 ∙ х + 2 ∙ 5 – 2х ∙ х – 2х ∙ 5 + х² ∙ х + х² ∙ 5
= 2х + 10 – 2х² – 10х + х³ + 5х² = х3 + 3х² – 8х + 10
з) (3у – 4)(у² – у + 1) = 3у ∙ у² – 3у ∙ у + 3у ∙ 1 – 4 ∙ у² + 4 ∙ у – 4 ∙ 1
= 3у³ – 3у² + 3у – 4у² + 4у – 4 = 3у³ – 7у² + 7у – 4
Редакция 2019
№ 699.
Докажите, что:
а) при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) кратно 6; б) при любом натуральном значении n, большем 2, значение выражения (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) кратно 12.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки в обоих произведениях, приведите подобные члены и попытайтесь вынести общий множитель. Если получится число (коэффициент), умноженное на выражение с n, то исходное выражение кратно этому числу.
Решение по шагам
Пункт а)
Нужно доказать, что n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) кратно 6 при любом натуральном n.
Шаг 1. Раскроем скобки в первом произведении: n(n + 5) = n² + 5n
Шаг 2. Раскроем скобки во втором произведении: (n − 3)(n + 2) = n² + 2n − 3n − 6 = n² − n − 6
Шаг 3. Найдём разность: n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) = (n² + 5n) − (n² − n − 6) = n² + 5n − n² + n + 6 = 6n + 6
Шаг 4. Вынесем общий множитель: 6n + 6 = 6(n + 1)
Вывод: Выражение равно 6(n + 1), то есть всегда делится на 6 при любом натуральном n. ✓
Пункт б)
Нужно доказать, что (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) кратно 12 при любом натуральном n > 2.
Шаг 1. Раскроем первое произведение (используем формулу разности квадратов): (n − 1)(n + 1) = n² − 1
Шаг 2. Раскроем второе произведение: (n − 7)(n − 5) = n² − 5n − 7n + 35 = n² − 12n + 35
Шаг 3. Найдём разность: (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) = (n² − 1) − (n² − 12n + 35) = n² − 1 − n² + 12n − 35 = 12n − 36
Шаг 4. Вынесем общий множитель: 12n − 36 = 12(n − 3)
Вывод: Выражение равно 12(n − 3), то есть всегда делится на 12 при любом натуральном n (в частности, при n > 2). ✓