Номер 696 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 696.
Запишите в виде многочлена выражение:
а) (x² + y)(x + y²);
б) (m² - n)(m² + 2n²);
в) (4a² + b²)(3a² - b²);
г) (5x² - 4x)(x + 1);
д) (a - 2)(4a³ - 3a²);
е) (7p² - 2p)(8p - 5).
а) (x² + y)(x + y²) = x³ + xy + x²y² + y³
б) (m² - n)(m² + 2n²) = m4 - m²n + 2m²n² - 2n³
в) (4a² + b²)(3a² - b²) = 12a4 + 3a²b² - 4a²b² - b4 = 12a4 - a²b² - b4
г) (5x² - 4x)(x + 1) = 5x³ - 4x² + 5x² - 4x = 5x³ + x² - 4x
д) (a - 2)(4a³ - 3a²) = 4a4 - 8a³ - 3a³ + 6a² = 4a4 - 11a³ + 6a²
е) (7p² - 2p)(8p - 5) = 56p³ - 16p² - 35p² + 10p = 56p³ - 51p² + 10p
💡 Подсказка (без ответа)
Каждый член первого многочлена нужно умножить на каждый член второго многочлена. После этого приведи подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно перемножить два многочлена, раскрыв скобки. Каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго, потом приводим подобные.
а) (x² + y)(x + y²)
Умножаем x² на каждый член второй скобки: x² · x + x² · y² = x³ + x²y²
Умножаем y на каждый член второй скобки: y · x + y · y² = xy + y³
Складываем все: x³ + x²y² + xy + y³
Ответ: x³ + xy + x²y² + y³
б) (m² - n)(m² + 2n²)
Умножаем m² на каждый член: m² · m² + m² · 2n² = m⁴ + 2m²n²
Умножаем (-n) на каждый член: (-n) · m² + (-n) · 2n² = -m²n - 2n³
Складываем: m⁴ + 2m²n² - m²n - 2n³
Ответ: m⁴ - m²n + 2m²n² - 2n³
в) (4a² + b²)(3a² - b²)
Умножаем 4a²: 4a² · 3a² + 4a² · (-b²) = 12a⁴ - 4a²b²
Умножаем b²: b² · 3a² + b² · (-b²) = 3a²b² - b⁴
Складываем: 12a⁴ - 4a²b² + 3a²b² - b⁴
Приводим подобные: -4a²b² + 3a²b² = -a²b²
Ответ: 12a⁴ - a²b² - b⁴
г) (5x² - 4x)(x + 1)
Умножаем 5x²: 5x² · x + 5x² · 1 = 5x³ + 5x²
Умножаем (-4x): (-4x) · x + (-4x) · 1 = -4x² - 4x
Складываем: 5x³ + 5x² - 4x² - 4x
Приводим подобные: 5x² - 4x² = x²
Ответ: 5x³ + x² - 4x
д) (a - 2)(4a³ - 3a²)
Умножаем a: a · 4a³ + a · (-3a²) = 4a⁴ - 3a³
Умножаем (-2): (-2) · 4a³ + (-2) · (-3a²) = -8a³ + 6a²
Складываем: 4a⁴ - 3a³ - 8a³ + 6a²
Приводим подобные: -3a³ - 8a³ = -11a³
Ответ: 4a⁴ - 11a³ + 6a²
е) (7p² - 2p)(8p - 5)
Умножаем 7p²: 7p² · 8p + 7p² · (-5) = 56p³ - 35p²
Умножаем (-2p): (-2p) · 8p + (-2p) · (-5) = -16p² + 10p
Складываем: 56p³ - 35p² - 16p² + 10p
Приводим подобные: -35p² - 16p² = -51p²
Ответ: 56p³ - 51p² + 10p
Редакция 2019
№ 696.
Пусть a,b,c и d – четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность cd − ab кратна 16.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь четыре последовательных нечётных числа через a, a + 2, a + 4, a + 6. Вычисли произведения cd и ab, найди их разность и упрости выражение. Заметь, что у нечётного числа сумма с нечётным числом даёт чётное число.
Решение по шагам
Обозначим четыре последовательных нечётных числа. Пусть первое нечётное число равно a.
Тогда:
- a — первое нечётное число
- b = a + 2 — второе нечётное число
- c = a + 4 — третье нечётное число
- d = a + 6 — четвёртое нечётное число
Найдём разность cd − ab:
cd = (a + 4)(a + 6) cd = a² + 6a + 4a + 24 cd = a² + 10a + 24
ab = a(a + 2) ab = a² + 2a
cd − ab = (a² + 10a + 24) − (a² + 2a) cd − ab = a² + 10a + 24 − a² − 2a cd − ab = 8a + 24 cd − ab = 8(a + 3)
Теперь нужно доказать, что 8(a + 3) кратно 16, то есть что 8(a + 3) делится на 16.
Это значит, что (a + 3) должно быть чётным числом.
Поскольку a — нечётное число, то a + 3 = нечётное + нечётное = чётное число.
Значит, a + 3 = 2k для некоторого целого числа k.
Тогда: cd − ab = 8(a + 3) = 8 · 2k = 16k
Полученное выражение 16k делится на 16.
Следовательно, разность cd − ab кратна 16, что и требовалось доказать.