Номер 695 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 695.
Представьте в виде многочлена выражение:
а) (m - n)(x + c);
б) (k - p)(k - n);
в) (a + 3)(a - 2);
г) (5 - x)(4 - x);
д) (1 - 2a)(3a + 1);
е) (6m - 3)(2 - 5m).
а) (m - n)(x + c) = mx - nx + mc - nc
б) (k - p)(k - n) = k² - pk - kn + pn
в) (a + 3)(a - 2) = a² + 3a - 2a - 6 = a² + a - 6
г) (5 - x)(4 - x) = 20 - 4x - 5x + x² = x² - 9x + 20
д) (1 - 2a)(3a + 1) = 3a + 1 - 6a² - 2a = 1 + a - 6a²
е) (6m - 3)(2 - 5m) = 12m - 6 - 30m² + 15m = 27m - 6 - 30m²
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни распределительный закон умножения. Каждый член из первой скобки умножь на каждый член из второй скобки. Затем приведи подобные слагаемые, если они есть.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно раскрыть скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго. Используем правило: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
a) (m - n)(x + c) Умножаем m на каждый член второй скобки: mx + mc Умножаем (-n) на каждый член второй скобки: -nx - nc Ответ: mx + mc - nx - nc
б) (k - p)(k - n) Умножаем k на каждый член: k² - kn Умножаем (-p) на каждый член: -pk + pn Ответ: k² - kn - pk + pn
в) (a + 3)(a - 2) Умножаем a: a² - 2a Умножаем 3: 3a - 6 Складываем: a² - 2a + 3a - 6 = a² + a - 6
г) (5 - x)(4 - x) Умножаем 5: 20 - 5x Умножаем (-x): -4x + x² Складываем: 20 - 5x - 4x + x² = x² - 9x + 20
д) (1 - 2a)(3a + 1) Умножаем 1: 3a + 1 Умножаем (-2a): -6a² - 2a Складываем: 3a + 1 - 6a² - 2a = -6a² + a + 1
е) (6m - 3)(2 - 5m) Умножаем 6m: 12m - 30m² Умножаем (-3): -6 + 15m Складываем: 12m - 30m² - 6 + 15m = -30m² + 27m - 6
Редакция 2019
№ 695.
Докажите, что при всех целых n значение выражения:
а) n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) делится на 6; б) n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) делится на 7.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки в обоих произведениях по правилу умножения многочленов. Затем найдите разность полученных выражений и упростите. Постарайтесь вынести общий множитель так, чтобы получился делитель (6 или 7).
Решение по шагам
Задание №695
а) Докажите, что n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) делится на 6
Шаг 1. Раскроем скобки в первом произведении. n(n − 1) = n² − n
Шаг 2. Раскроем скобки во втором произведении. (n + 3)(n + 2) = n² + 2n + 3n + 6 = n² + 5n + 6
Шаг 3. Найдём разность этих выражений. n² − n − (n² + 5n + 6) = n² − n − n² − 5n − 6 = −6n − 6
Шаг 4. Вынесем общий множитель. −6n − 6 = −6(n + 1)
Шаг 5. Вывод. Получилось −6(n + 1). Это выражение всегда делится на 6, так как содержит множитель 6 (или −6). При любом целом n результат будет кратен 6.
б) Докажите, что n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) делится на 7
Шаг 1. Раскроем скобки в первом произведении. n(n + 2) = n² + 2n
Шаг 2. Раскроем скобки во втором произведении. (n − 7)(n − 5) = n² − 5n − 7n + 35 = n² − 12n + 35
Шаг 3. Найдём разность этих выражений. n² + 2n − (n² − 12n + 35) = n² + 2n − n² + 12n − 35 = 14n − 35
Шаг 4. Вынесем общий множитель. 14n − 35 = 7(2n − 5)
Шаг 5. Вывод. Получилось 7(2n − 5). Это выражение всегда делится на 7, так как содержит множитель 7. При любом целом n результат будет кратен 7.