Номер 682 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 682.
Разложите на множители многочлен:
а) х³ – 3х² + х;
б) m² – 2m³ – m4;
в) 4а5 – 2а³ + а;
г) 6х² – 4х³ + 10х4;
д) 15а³ – 9а² + 6а;
е) –3m² – 6m³ + 12m5;
а) х³ – 3х² + х = х(х² – 3х + 1)
б) m² – 2m³ – m4 = m²(1 – 2m – m²)
в) 4а5 – 2а³ + а = а(4а4 – 2а² + 1)
г) 6х² – 4х³ + 10х4 = 2х²(3 – 2х + 5х²)
д) 15а³ – 9а² + 6а = 3а(5а² – 3а + 2)
е) –3m² – 6m³ + 12m5 = -3m²(1 + 2m – 4m³)
💡 Подсказка (без ответа)
Найди общий множитель всех членов многочлена — это переменная в наименьшей степени и общий делитель коэффициентов. Вынеси этот множитель за скобки, разделив каждый член на него.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Разложить на множители — это значит вынести общий множитель за скобки. Ищем наибольший общий делитель всех членов.
а) х³ – 3х² + х
Все члены содержат х. Вынесем х за скобки: х³ – 3х² + х = х(х² – 3х + 1)
б) m² – 2m³ – m⁴
Все члены содержат m². Вынесем m² за скобки: m² – 2m³ – m⁴ = m²(1 – 2m – m²)
в) 4а⁵ – 2а³ + а
Все члены содержат а. Вынесем а за скобки: 4а⁵ – 2а³ + а = а(4а⁴ – 2а² + 1)
г) 6х² – 4х³ + 10х⁴
Общий множитель: 2х². Вынесем его: 6х² – 4х³ + 10х⁴ = 2х²(3 – 2х + 5х²)
Проверка: 2х² · 3 = 6х², 2х² · (–2х) = –4х³, 2х² · 5х² = 10х⁴ ✓
д) 15а³ – 9а² + 6а
Общий множитель: 3а. Вынесем его: 15а³ – 9а² + 6а = 3а(5а² – 3а + 2)
Проверка: 3а · 5а² = 15а³, 3а · (–3а) = –9а², 3а · 2 = 6а ✓
е) –3m² – 6m³ + 12m⁵
Общий множитель: –3m². Вынесем его: –3m² – 6m³ + 12m⁵ = –3m²(1 + 2m – 4m³)
Проверка: –3m² · 1 = –3m², –3m² · 2m = –6m³, –3m² · (–4m³) = 12m⁵ ✓
Редакция 2019
№ 682.
Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен:
а) (х + 10)2; б) (1 − у)2; в) (3а − 1)2; г) (5 − 6b)2.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни: степень (а)² означает умножение скобки саму на себя. Затем раскрывай скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй. Не забудь привести подобные слагаемые в конце.
Решение по шагам
Используем формулы сокращённого умножения: (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)² = a² − 2ab + b²
а) (х + 10)²
Шаг 1. Заменяем степень произведением: (х + 10)² = (х + 10)(х + 10)
Шаг 2. Раскрываем скобки (каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй): = х · х + х · 10 + 10 · х + 10 · 10 = х² + 10х + 10х + 100
Шаг 3. Приводим подобные: = х² + 20х + 100
б) (1 − у)²
Шаг 1. Заменяем степень произведением: (1 − у)² = (1 − у)(1 − у)
Шаг 2. Раскрываем скобки: = 1 · 1 − 1 · у − у · 1 + у · у = 1 − у − у + у²
Шаг 3. Приводим подобные: = 1 − 2у + у²
или: = у² − 2у + 1
в) (3а − 1)²
Шаг 1. Заменяем степень произведением: (3а − 1)² = (3а − 1)(3а − 1)
Шаг 2. Раскрываем скобки: = 3а · 3а − 3а · 1 − 1 · 3а + 1 · 1 = 9а² − 3а − 3а + 1
Шаг 3. Приводим подобные: = 9а² − 6а + 1
г) (5 − 6b)²
Шаг 1. Заменяем степень произведением: (5 − 6b)² = (5 − 6b)(5 − 6b)
Шаг 2. Раскрываем скобки: = 5 · 5 − 5 · 6b − 6b · 5 + 6b · 6b = 25 − 30b − 30b + 36b²
Шаг 3. Приводим подобные: = 25 − 60b + 36b²
или: = 36b² − 60b + 25