Номер 644 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 644.
Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
а) a(b - c) + b(c - a) + c(a - b);
б) a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a).
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой скобки в каждом слагаемом по распределительному закону. Затем перегруппируй одинаковые произведения (например, ab и ba, ac и ca) — они будут сокращаться, давая ноль.
Решение по шагам
а) a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)
Шаг 1: Раскроем скобки в каждом слагаемом.
- a(b - c) = ab - ac
- b(c - a) = bc - ba
- c(a - b) = ca - cb
Шаг 2: Подставим в исходное выражение. ab - ac + bc - ba + ca - cb
Шаг 3: Перегруппируем по одинаковым произведениям. (ab - ba) + (bc - cb) + (ca - ac)
Шаг 4: Найдём значение каждой группы.
- ab - ba = ab - ab = 0
- bc - cb = bc - bc = 0
- ca - ac = ac - ac = 0
Шаг 5: Сложим результаты. 0 + 0 + 0 = 0 ✓
б) a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a)
Шаг 1: Раскроем скобки в каждом слагаемом.
- a(b + c - bc) = ab + ac - abc
- -b(c + a - ac) = -bc - ba + bac
- c(b - a) = cb - ca
Шаг 2: Подставим в исходное выражение. ab + ac - abc - bc - ba + bac + cb - ca
Шаг 3: Заметим, что bac = abc (произведение чисел не зависит от порядка). ab + ac - abc - bc - ba + abc + cb - ca
Шаг 4: Перегруппируем по одинаковым произведениям. (ab - ba) + (ac - ca) + (-abc + abc) + (-bc + cb)
Шаг 5: Найдём значение каждой группы.
- ab - ba = 0
- ac - ca = 0
- -abc + abc = 0
- -bc + cb = 0
Шаг 6: Сложим результаты. 0 + 0 + 0 + 0 = 0 ✓
Редакция 2019
№ 644.
Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин, спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь длину дистанции буквой х и вырази время для каждого случая по формуле: время = расстояние ÷ скорость. Затем составь уравнение, используя то, что разница времён равна 1 минуте.
Решение по шагам
Обозначим длину дистанции через х метров.
Найдём время при скорости 250 м/мин: Время = Расстояние ÷ Скорость Время₁ = х ÷ 250 (мин)
Найдём время при скорости 300 м/мин: Время₂ = х ÷ 300 (мин)
По условию задачи спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 минуту быстрее. Это значит: Время₁ - Время₂ = 1
Составим уравнение: х/250 - х/300 = 1
Найдём общий знаменатель. НОК(250, 300) = 1500 6х/1500 - 5х/1500 = 1
Упростим: (6х - 5х)/1500 = 1 х/1500 = 1
Умножим обе части на 1500: х = 1500 (метров)
Проверка:
- При скорости 250 м/мин: время = 1500 ÷ 250 = 6 мин
- При скорости 300 м/мин: время = 1500 ÷ 300 = 5 мин
- Разница: 6 - 5 = 1 мин ✓