Номер 626 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 626.
(Для работы в парах.) Докажите, что сумма:
а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;
б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.
3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.
а) n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3 (n + 1)
б) n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6
Предположим, что сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5.
n - 2, n - 1, n, n + 1, n + 2 - пять последовательных натуральных чисел
(n - 2) + (n - 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = n - 2 + n - 1 + n + n + 1 + n + 2 = 5n - кратно 5
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь последовательные числа буквой n и числами, которые на 1, 2 и т. д. больше. Сложи эти числа и упрости выражение, вынеси общий множитель за скобки. Если множитель совпадает с количеством чисел — сумма кратна этому числу.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решение задания №626
Часть 1) Распределение и выполнение заданий
Задание а) Три последовательных натуральных числа
Обозначим три последовательных натуральных числа как: n, n + 1, n + 2
Найдём их сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3
Вынесем общий множитель:
3n + 3 = 3(n + 1)
Получилось число, которое содержит множитель 3, поэтому сумма трёх последовательных натуральных чисел всегда кратна 3.
Пример: 5 + 6 + 7 = 18, и 18 : 3 = 6 ✓
Задание б) Четыре последовательных натуральных числа
Обозначим четыре последовательных натуральных числа как: n, n + 1, n + 2, n + 3
Найдём их сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6
Проверим, делится ли 4n + 6 на 4:
4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n + 1) + 2
Это число при делении на 4 всегда даёт остаток 2, поэтому сумма четырёх последовательных натуральных чисел никогда не кратна 4.
Пример: 3 + 4 + 5 + 6 = 18, и 18 : 4 = 4 (остаток 2) ✓
Часть 2) Проверка друг у друга
Оба решения верны. Все преобразования выполнены правильно: правильно обозначены числа, правильно найдена сумма, правильно вынесены множители.
Часть 3) Предположение о пяти последовательных числах
Предположение: Сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5.
Проверка:
Обозначим пять последовательных натуральных чисел как: n - 2, n - 1, n, n + 1, n + 2
Найдём их сумму:
(n - 2) + (n - 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = n - 2 + n - 1 + n + n + 1 + n + 2 = 5n
Получилось число 5n, которое содержит множитель 5, поэтому сумма пяти последовательных натуральных чисел всегда кратна 5.
Пример: 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 50, и 50 : 5 = 10 ✓
Вывод: Предположение верно!
Редакция 2019
№ 626.
Докажите, что выражение х(2х + 1) − х2(х + 2) + (х3 − х + 3) при любом значении х принимает одно и тоже значение.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой все скобки по правилам умножения одночлена на многочлен и многочлена на многочлен. Потом приведи подобные члены (слагаемые с одинаковыми степенями х). Если останется только число — доказано!
Решение по шагам
Нужно упростить выражение и показать, что в результате получится число (константа), которое не зависит от х.
Шаг 1. Раскроем первую скобку: х(2х + 1) х(2х + 1) = 2х² + х
Шаг 2. Раскроем вторую скобку: х²(х + 2) х²(х + 2) = х³ + 2х²
Шаг 3. Подставим результаты в исходное выражение: (2х² + х) − (х³ + 2х²) + (х³ − х + 3)
Шаг 4. Раскроем скобки, внимательно со знаками: 2х² + х − х³ − 2х² + х³ − х + 3
Шаг 5. Приведём подобные члены:
- Члены с х³: −х³ + х³ = 0
- Члены с х²: 2х² − 2х² = 0
- Члены с х: х − х = 0
- Свободный член: 3
Шаг 6. В итоге получаем: 0 + 0 + 0 + 3 = 3
Так как выражение упростилось до числа 3, оно при любом значении х принимает одно и то же значение — 3.