Номер 625 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 625.
Известно, что при некоторых натуральных значениях n значение выражения n³ + n кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях n значение выражения:
а) n³ + 31n;
б) n³ - 29n?
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй представить каждое новое выражение через исходное (n³ + n) и число 30. Например, n³ + 31n = (n³ + n) + 30n. Затем вспомни, что сумма и разность чисел, кратных одному и тому же числу, тоже кратны этому числу.
Решение по шагам
Сначала разберёмся с исходным выражением n³ + n.
Подготовка: разложим n³ + n
n³ + n = n(n² + 1)
Если это выражение кратно 30, то оно делится на 30 = 2 × 3 × 5.
Это значит, что n(n² + 1) делится на 2, на 3 и на 5.
Пункт а) n³ + 31n
Преобразуем:
n³ + 31n = n³ + n + 30n = (n³ + n) + 30n
По условию (n³ + n) кратно 30.
30n тоже кратно 30 (это просто 30, умноженное на натуральное число).
Сумма двух чисел, кратных 30, тоже кратна 30.
Значит, n³ + 31n кратно 30. ✓
Пункт б) n³ - 29n
Преобразуем:
n³ - 29n = n³ + n - 30n = (n³ + n) - 30n
По условию (n³ + n) кратно 30.
30n кратно 30.
Разность двух чисел, кратных 30, тоже кратна 30.
Значит, n³ - 29n кратно 30. ✓
Редакция 2019
№ 625.
С помощью рисунка 67 разъясните геометрический смысл формулы a(b +c) = ab + ac для положительных значений a, b и с.
💡 Подсказка (без ответа)
Нарисуй большой прямоугольник. Одна сторона — это a, другая — это (b + c). Потом раздели одну из сторон на две части b и c вертикальной линией. Посчитай площадь целого прямоугольника и сумму площадей двух получившихся кусков — они будут одинаковыми.
Решение по шагам
Эта задача просит объяснить, почему формула a(b + c) = ab + ac верна, используя геометрию.
Шаг 1: Представляем прямоугольник Представьте большой прямоугольник, у которого одна сторона имеет длину a, а другая сторона разделена на две части: длину b и длину c.
Шаг 2: Считаем площадь целого прямоугольника Вся длина второй стороны = b + c Площадь большого прямоугольника = a × (b + c) = a(b + c)
Шаг 3: Делим большой прямоугольник на два меньших Линия разделяет наш прямоугольник на две части:
- Первый маленький прямоугольник: стороны a и b, площадь = ab
- Второй маленький прямоугольник: стороны a и c, площадь = ac
Шаг 4: Сравниваем Площадь большого прямоугольника = сумме площадей двух маленьких прямоугольников
a(b + c) = ab + ac
Она всегда верна, потому что целая площадь равна сумме своих частей!