Номер 615 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 615.
Докажите, что при любом значении х разность многочленов 0,7х4 + 0,2х² и -0,3х4 + 1/5х² - 8 принимает положительное значение.
💡 Подсказка (без ответа)
Найдите разность первого многочлена минус второй многочлен. Раскройте скобки, помня о смене знаков. Приведите подобные члены и посмотрите, какое выражение получилось.
Решение по шагам
Нужно найти разность первого многочлена и второго, а затем доказать, что она всегда положительная.
Шаг 1. Запишем разность многочленов:
(0,7х⁴ + 0,2х²) - (-0,3х⁴ + 1/5х² - 8)
Шаг 2. Раскроем скобки (помним, что минус перед скобкой меняет знаки):
0,7х⁴ + 0,2х² + 0,3х⁴ - 1/5х² + 8
Шаг 3. Приведём подобные члены.
Сначала заметим, что 1/5 = 0,2, поэтому:
(0,7х⁴ + 0,3х⁴) + (0,2х² - 0,2х²) + 8
Шаг 4. Вычислим:
1,0х⁴ + 0 + 8 = х⁴ + 8
Шаг 5. Докажем, что х⁴ + 8 > 0 при любом х:
- х⁴ — это четвёртая степень, поэтому х⁴ ≥ 0 при любом значении х (чётная степень не может быть отрицательной)
- 8 > 0
- Значит, х⁴ + 8 ≥ 0 + 8 = 8 > 0
Вывод: разность всегда положительна, что и требовалось доказать.
Редакция 2019
№ 615.
Преобразуйте произведение в многочлен:
а) 3ab(a2 − 2ab + b2). б) −x2y(x2y2 − x2 − y2). в) 2,5a2b(4a2 − 2ab + 0,2b2). г) (−2ax2 + 3ax − a2)(−a2x2). д) (6,3x3y − 3y2 − 0,7x) · 10x2y2. е) −1,4p2q6(5p3q − 1,5pq2 − 2q3).
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни распределительный закон умножения: одночлен нужно умножить на каждый член многочлена. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: a² · a³ = a⁵. Не забудь про знаки минуса (минус на минус дает плюс)!
Решение по шагам
- Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.
а) 3ab(a² − 2ab + b²)
Умножаем 3ab на каждый член в скобках:
- 3ab · a² = 3a³b
- 3ab · (−2ab) = −6a²b²
- 3ab · b² = 3ab³
Ответ: 3a³b − 6a²b² + 3ab³
б) −x²y(x²y² − x² − y²)
Умножаем −x²y на каждый член:
- −x²y · x²y² = −x⁴y³
- −x²y · (−x²) = x⁴y
- −x²y · (−y²) = x²y³
Ответ: −x⁴y³ + x⁴y + x²y³
в) 2,5a²b(4a² − 2ab + 0,2b²)
Умножаем 2,5a²b на каждый член:
- 2,5a²b · 4a² = 10a⁴b
- 2,5a²b · (−2ab) = −5a³b²
- 2,5a²b · 0,2b² = 0,5a²b³
Ответ: 10a⁴b − 5a³b² + 0,5a²b³
г) (−2ax² + 3ax − a²)(−a²x²)
Умножаем каждый член многочлена на −a²x²:
- −2ax² · (−a²x²) = 2a³x⁴
- 3ax · (−a²x²) = −3a³x³
- −a² · (−a²x²) = a⁴x²
Ответ: 2a³x⁴ − 3a³x³ + a⁴x²
д) (6,3x³y − 3y² − 0,7x) · 10x²y²
Умножаем каждый член на 10x²y²:
- 6,3x³y · 10x²y² = 63x⁵y³
- −3y² · 10x²y² = −30x²y⁴
- −0,7x · 10x²y² = −7x³y²
Ответ: 63x⁵y³ − 30x²y⁴ − 7x³y²
е) −1,4p²q⁶(5p³q − 1,5pq² − 2q³)
Умножаем −1,4p²q⁶ на каждый член:
- −1,4p²q⁶ · 5p³q = −7p⁵q⁷
- −1,4p²q⁶ · (−1,5pq²) = 2,1p³q⁸
- −1,4p²q⁶ · (−2q³) = 2,8p²q⁹
Ответ: −7p⁵q⁷ + 2,1p³q⁸ + 2,8p²q⁹