Номер 599 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Приведи всё к одинаковым основаниям степеней: 25 = 5², 8 = 2³, 4 = 2², 6 = 2 · 3. Потом используй правила: при умножении степеней показатели складываются, при делении — вычитаются.

Решаем каждый пример, используя свойства степеней.

а) (5³ · 25²) / 5⁸

Шаг 1: Приведём всё к одному основанию. 25 = 5², поэтому 25² = (5²)² = 5⁴

Шаг 2: Подставляем: (5³ · 5⁴) / 5⁸

Шаг 3: В числителе складываем степени: 5³⁺⁴ / 5⁸ = 5⁷ / 5⁸

Шаг 4: При делении степеней вычитаем показатели: 5⁷⁻⁸ = 5⁻¹ = 1/5 = 0,2

б) (2⁵ · 8) / 4⁴

Шаг 1: Приведём к одному основанию. 8 = 2³ и 4 = 2², поэтому 4⁴ = (2²)⁴ = 2⁸

Шаг 2: Подставляем: (2⁵ · 2³) / 2⁸

Шаг 3: В числителе складываем степени: 2⁵⁺³ / 2⁸ = 2⁸ / 2⁸

Шаг 4: Делим: 2⁸⁻⁸ = 2⁰ = 1

в) (4⁵ · 3⁸) / 6⁹

Шаг 1: Разложим 6⁹ = (2 · 3)⁹ = 2⁹ · 3⁹. Также 4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰

Шаг 2: Подставляем: (2¹⁰ · 3⁸) / (2⁹ · 3⁹)

Шаг 3: Сокращаем степени: 2¹⁰⁻⁹ · 3⁸⁻⁹ = 2¹ · 3⁻¹ = 2/3

Найди разность многочленов, раскрой скобки и приведи подобные слагаемые. Затем сделай замену х² = t и исследуй получившийся квадратный трёхчлен через дискриминант.

Нужно найти разность двух многочленов и доказать, что она всегда положительна.

1. Запишем разность первого многочлена и второго: (0,7х⁴ + 0,2х² − 5) − (−0,3х⁴ + х² − 8)

2. Раскроем скобки (перед второй скобкой минус, поэтому все знаки меняются): 0,7х⁴ + 0,2х² − 5 + 0,3х⁴ − х² + 8

3. Приведём подобные члены: • х⁴: 0,7х⁴ + 0,3х⁴ = 1,0х⁴ = х⁴ • х²: 0,2х² − х² = −0,8х² • Свободные члены: −5 + 8 = 3

Получаем: х⁴ − 0,8х² + 3

4. Обозначим х² = t, где t ≥ 0 (так как квадрат любого числа неотрицательный). Тогда получаем: t² − 0,8t + 3

5. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена t² − 0,8t + 3: D = (−0,8)² − 4 · 1 · 3 = 0,64 − 12 = −11,36

6. Так как D < 0 и коэффициент при t² равен 1 (положительный), квадратный трёхчлен t² − 0,8t + 3 всегда положителен при любом значении t.

7. А значит, х⁴ − 0,8х² + 3 > 0 при любом значении х.

Что и требовалось доказать.