Номер 597 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 597.
(Задача-исследование.) Докажите, что всякая разность вида /abbb − a делится на 37.
1) Проверьте верность этого утверждения для разности:
а) 2555 − 2; б) 7111 − 7; в) 8999 − 8; г) 9666 − 9.
2) Проведите докаазательство высказанонго утверждения.
💡 Подсказка (без ответа)
Представь четырёхзначное число /abbb в развёрнутом виде: 1000a + 100b + 10b + b. Затем найди разность /abbb − a и попробуй вынести общий множитель. Обрати внимание на число 111.
Решение по шагам
Решение задачи №597
Часть 1) Проверка верности утверждения:
Обозначение: /abbb означает четырёхзначное число, где первая цифра a, а три последние цифры одинаковые (b, b, b).
а) 2555 − 2:
- 2555 − 2 = 2553
- 2553 ÷ 37 = 69
- Проверка: 37 × 69 = 2553 ✓
- Делится на 37!
б) 7111 − 7:
- 7111 − 7 = 7104
- 7104 ÷ 37 = 192
- Проверка: 37 × 192 = 7104 ✓
- Делится на 37!
в) 8999 − 8:
- 8999 − 8 = 8991
- 8991 ÷ 37 = 243
- Проверка: 37 × 243 = 8991 ✓
- Делится на 37!
г) 9666 − 9:
- 9666 − 9 = 9657
- 9657 ÷ 37 = 261
- Проверка: 37 × 261 = 9657 ✓
- Делится на 37!
Часть 2) Доказательство для любого числа вида /abbb − a:
Четырёхзначное число /abbb можно записать как:
- /abbb = 1000a + 100b + 10b + b
- /abbb = 1000a + 111b
Найдём разность:
- /abbb − a = 1000a + 111b − a
- /abbb − a = 999a + 111b
Вынесем общий множитель 111:
- /abbb − a = 111(9a + b)
Теперь разложим 111:
- 111 = 3 × 37
Подставим:
- /abbb − a = 3 × 37 × (9a + b)
- /abbb − a = 37 × (3(9a + b))
- /abbb − a = 37 × (27a + 3b)
Поскольку число /abbb − a представимо в виде произведения 37 на целое число (27a + 3b), оно делится на 37.
Что и требовалось доказать!
Редакция 2019
№ 597.
Найдите значение выражения (5,7a2b − 3,1ab + 8b3) − (6,9ab − 2,3a2b + 8b3), если:
а) а = 2 и b = 5; б) а = −2 и b = 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой скобки перед вторыми скобками, помни, что минус меняет знаки. Затем найди и сложи подобные члены (с одинаковыми буквенными частями). После упрощения подставь числовые значения a и b.
Решение по шагам
Сначала упростим выражение, раскроем скобки и приведём подобные члены.
Раскрываем скобки:
(5,7a²b − 3,1ab + 8b³) − (6,9ab − 2,3a²b + 8b³) =
= 5,7a²b − 3,1ab + 8b³ − 6,9ab + 2,3a²b − 8b³
Приводим подобные члены:
- Члены с a²b: 5,7a²b + 2,3a²b = 8a²b
- Члены с ab: −3,1ab − 6,9ab = −10ab
- Члены с b³: 8b³ − 8b³ = 0
Упрощённое выражение:
8a²b − 10ab
Можно вынести общий множитель:
= 2ab(4a − 5)
а) При a = 2 и b = 5:
8a²b − 10ab = 8 · 2² · 5 − 10 · 2 · 5 =
= 8 · 4 · 5 − 10 · 2 · 5 =
= 160 − 100 = 60
б) При a = −2 и b = 3:
8a²b − 10ab = 8 · (−2)² · 3 − 10 · (−2) · 3 =
= 8 · 4 · 3 − 10 · (−2) · 3 =
= 96 − (−60) = 96 + 60 = 156