Номер 591 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Вспомни, что квадрат любого числа — это число неотрицательное (больше или равно нулю). Сложи свойства квадратов х² и у², а потом добавь к сумме число 1.

Нужно доказать, что выражение х² + у² + 1 всегда больше нуля, при любых значениях х и у.

Шаг 1. Вспомним свойство квадратов чисел. Любое число, возведённое в квадрат, даёт неотрицательный результат (либо ноль, либо положительное число).

• х² ≥ 0 для любого х
• у² ≥ 0 для любого у

Шаг 2. Сложим эти выражения. х² + у² ≥ 0 (сумма двух неотрицательных чисел тоже неотрицательна)

Шаг 3. Добавим единицу. х² + у² + 1 ≥ 0 + 1 х² + у² + 1 ≥ 1

Шаг 4. Вывод. Поскольку х² + у² + 1 ≥ 1, а 1 > 0, то многочлен х² + у² + 1 всегда принимает положительные значения при любых значениях х и у.

Что и требовалось доказать!

Обозначь нечётное число в виде 2n + 1 (или 2n - 1). Запиши следующее нечётное число, найди их сумму и покажи, что она делится на требуемое число.

а) Сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4

Обозначим первое нечётное число как 2n + 1, где n — целое число.

Тогда второе последовательное нечётное число будет 2n + 3.

Найдём их сумму: (2n + 1) + (2n + 3) = 2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4 = 4(n + 1)

Мы получили произведение 4(n + 1), где (n + 1) — целое число. Это означает, что сумма делится на 4 нацело, то есть кратна 4. ✓

б) Сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8

Обозначим четыре последовательных нечётных числа как 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, где n — целое число.

Найдём их сумму: (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) = 2n + 2n + 2n + 2n + 1 + 3 + 5 + 7 = 8n + 16 = 8(n + 2)

Мы получили произведение 8(n + 2), где (n + 2) — целое число. Это означает, что сумма делится на 8 нацело, то есть кратна 8. ✓