Номер 1230 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1230.
Докажите, что уравнение x² - y² = 30 не имеет целых решений.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу разности квадратов: x² - y² = (x - y)(x + y). Обозначь множители как a и b, тогда a·b = 30. Из системы выражений x - y = a и x + y = b найди x = (a+b)/2 и y = (b-a)/2. Проверь, какой должна быть чётность a и b для целостности x и y.
Решение по шагам
Нужно доказать, что уравнение x² - y² = 30 не имеет целых решений.
Шаг 1: Разложим левую часть по формуле разности квадратов. x² - y² = (x - y)(x + y) = 30
Шаг 2: Обозначим x - y = a и x + y = b. Тогда a · b = 30, где a и b — целые числа.
Шаг 3: Из системы выражений найдём x и y. Из уравнений:
- x - y = a
- x + y = b
Сложим их: 2x = a + b, значит x = (a + b)/2 Вычтем второе из первого: -2y = a - b, значит y = (b - a)/2
Шаг 4: Для того чтобы x и y были целыми числами, нужно чтобы (a + b) и (b - a) были чётными.
Это возможно только когда a и b имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные).
Шаг 5: Рассмотрим делители числа 30: ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30.
Проверим все пары (a, b), для которых a · b = 30:
- (1, 30): разные чётности ✗
- (2, 15): разные чётности ✗
- (3, 10): разные чётности ✗
- (5, 6): разные чётности ✗
- (6, 5): разные чётности ✗
- (10, 3): разные чётности ✗
- (15, 2): разные чётности ✗
- (30, 1): разные чётности ✗
- и аналогично для отрицательных делителей
Шаг 6: Во всех случаях a и b имеют разные чётности! Значит, (a + b) и (b - a) будут нечётными числами, и мы не сможем разделить их на 2 нацело.
Шаг 7: Вывод: x и y не могут быть одновременно целыми числами.
Уравнение x² - y² = 30 не имеет целых решений. Ч. т. д.
Редакция 2019
№ 1230.
Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели был на воздухе?
💡 Подсказка (без ответа)
Заметь, что масса чистого угля (без воды) не меняется. Найди, сколько килограммов чистого угля в тонне свежего угля. Потом посчитай, какой должна быть общая масса угля, чтобы этот чистый уголь составлял нужный процент.
Решение по шагам
Решаем задачу про увеличение массы угля из-за поглощения воды.
Дано:
- Свежий уголь содержит 2% воды
- После выветривания содержит 12% воды
- Первоначальная масса: 1 тонна = 1000 кг
Шаг 1. Найдём массу чистого угля (без воды) в свежем состоянии. Если воды 2%, то чистого угля: 100% - 2% = 98% Масса чистого угля = 1000 × 0,98 = 980 кг
Шаг 2. Важный момент: масса чистого угля не меняется! Он только впитывает влагу. Поэтому в выветренном угле этого же чистого угля 980 кг, но теперь это составляет не 98%, а (100% - 12%) = 88% от новой массы.
Шаг 3. Обозначим новую массу угля за x кг. Составим уравнение: 980 = 0,88x
Шаг 4. Решаем уравнение: x = 980 ÷ 0,88 x = 980 ÷ (88/100) x = 980 × 100/88 x = 98000/88 x = 1113,64 кг (примерно)
Шаг 5. Найдём увеличение массы: 1113,64 - 1000 = 113,64 кг
Более точно: 980 × 100/88 - 1000 = 98000/88 - 1000 = (98000 - 88000)/88 = 10000/88 = 2500/22 = 1250/11 ≈ 113,64 кг
Округляем: 113,6 кг или примерно 114 кг