Номер 1231 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Напишите два условия для многочлена при x = 19 и x = 62. Вычтите одно уравнение из другого и разложите разности степеней на множители, используя формулы сокращённого умножения.

Предположим противное — что такие целые коэффициенты a, b, c и d существуют.

По условию задачи:

• При x = 19: a·19³ + b·19² + c·19 + d = 1
• При x = 62: a·62³ + b·62² + c·62 + d = 2

Вычтем первое равенство из второго: a·62³ + b·62² + c·62 + d − (a·19³ + b·19² + c·19 + d) = 2 − 1

Упростим: a(62³ − 19³) + b(62² − 19²) + c(62 − 19) = 1

Теперь заметим важное свойство: разность 62 − 19 = 43.

Разложим разности кубов и квадратов, используя формулы:

• 62³ − 19³ = (62 − 19)(62² + 62·19 + 19²) = 43·(62² + 62·19 + 19²)
• 62² − 19² = (62 − 19)(62 + 19) = 43·(62 + 19) = 43·81
• 62 − 19 = 43

Подставим в наше уравнение: a·43·(62² + 62·19 + 19²) + b·43·81 + c·43 = 1

Вынесем общий множитель 43: 43·[a(62² + 62·19 + 19²) + 81b + c] = 1

Левая часть этого уравнения делится на 43, а правая часть равна 1.

Но 1 не делится на 43!

Получилось противоречие. Это значит, наше предположение неверно.

Следовательно, не существует целых коэффициентов a, b, c и d, удовлетворяющих условию задачи.