Номер 1227 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1227.
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте пять последовательных чисел через n, n+1, n+2, n+3, n+4. Найдите сумму их квадратов и вынесите общий множитель. Затем предположите, что эта сумма — квадрат натурального числа, и проанализируйте остатки при делении на 5.
Решение по шагам
Обозначим пять последовательных натуральных чисел как: n, n+1, n+2, n+3, n+4, где n — натуральное число.
Найдём сумму их квадратов: S = n² + (n+1)² + (n+2)² + (n+3)² + (n+4)²
Раскроем скобки: S = n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4 + n² + 6n + 9 + n² + 8n + 16
Соберём подобные члены: S = 5n² + (2n + 4n + 6n + 8n) + (1 + 4 + 9 + 16) S = 5n² + 20n + 30
Вынесем общий множитель 5: S = 5(n² + 4n + 6)
Допустим, что S является квадратом натурального числа, то есть S = m² для некоторого натурального числа m.
Тогда: 5(n² + 4n + 6) = m²
Это означает, что m² делится на 5. Следовательно, m делится на 5. Пусть m = 5k, где k — натуральное число.
Тогда: 5(n² + 4n + 6) = 25k²
Делим обе части на 5: n² + 4n + 6 = 5k²
Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат: (n+2)² + 2 = 5k² (n+2)² = 5k² - 2
Рассмотрим остатки при делении на 5:
- Квадрат любого числа при делении на 5 дает остаток 0, 1 или 4
- Левая часть (n+2)² дает остаток 0, 1 или 4 при делении на 5
- Правая часть 5k² - 2 дает остаток -2 ≡ 3 (при делении на 5)
Получается противоречие! Остаток слева (0, 1 или 4) не может равняться остатку справа (3).
Следовательно, наше предположение неверно, и сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Редакция 2019
№ 1227.
Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь скорости автобуса и автомобиля переменными x и y. Из условия первой встречи найди сумму скоростей, используя время в пути (от 6 ч 20 мин до 7 ч 50 мин). Из условия второй встречи составь второе уравнение, учитывая разное время в пути для каждого транспорта.
Решение по шагам
Обозначим скорость автобуса за х км/ч, скорость легкового автомобиля за у км/ч.
Найдём время в пути до первой встречи: От 6 ч 20 мин до 7 ч 50 мин прошло 1 ч 30 мин = 1,5 ч
При встречу навстречу расстояние, которое они проходят вместе, равно 180 км: x · 1,5 + y · 1,5 = 180 1,5(x + y) = 180 x + y = 120 — первое уравнение
Рассмотрим второй сценарий: — Автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше (то есть в 5 ч 5 мин) — Легковой автомобиль вышел на 15 мин позже (то есть в 6 ч 35 мин) — Встреча произошла в 7 ч 35 мин
Найдём время в пути для каждого во втором сценарии: — Автобус шёл: от 5 ч 5 мин до 7 ч 35 мин = 2 ч 30 мин = 2,5 ч — Легковой автомобиль шёл: от 6 ч 35 мин до 7 ч 35 мин = 1 ч
Составим второе уравнение (расстояние, которое они прошли, равно 180 км): x · 2,5 + y · 1 = 180 2,5x + y = 180 — второе уравнение
Решаем систему уравнений: x + y = 120 2,5x + y = 180
Вычтем из второго уравнения первое: 2,5x + y − x − y = 180 − 120 1,5x = 60 x = 40 км/ч — скорость автобуса
Найдём скорость легкового автомобиля: y = 120 − 40 = 80 км/ч
Проверка: — Первая встреча: 40 · 1,5 + 80 · 1,5 = 60 + 120 = 180 ✓ — Вторая встреча: 40 · 2,5 + 80 · 1 = 100 + 80 = 180 ✓