Номер 1226 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1226.
Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт осаток 1.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте два последовательных числа как n и (n + 1). Раскройте куб суммы (n + 1)³ и вычтите n³. Попробуйте вынести общий множитель в виде произведения n(n + 1).
Решение по шагам
Обозначим два последовательных натуральных числа как n и (n + 1).
Нужно найти разность между кубами этих чисел и доказать, что при делении на 6 остаток равен 1.
Вычислим разность кубов: (n + 1)³ - n³
Разложим (n + 1)³: (n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1
Тогда разность: (n + 1)³ - n³ = (n³ + 3n² + 3n + 1) - n³ = 3n² + 3n + 1
Преобразуем это выражение: 3n² + 3n + 1 = 3n(n + 1) + 1
Важное свойство: произведение двух последовательных чисел n(n + 1) всегда делится на 2 (так как одно из них чётное).
Значит, 3n(n + 1) делится на 3 × 2 = 6.
Поэтому: 3n(n + 1) + 1 = 6k + 1, где k — некоторое натуральное число.
Вывод: разность кубов двух последовательных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.
Редакция 2019
№ 1226.
Задача Л.Н. Толстого. Вышла в поле артель косцов. Ёй предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?