Номер 1225 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Разложи p² - 1 на множители как (p - 1)(p + 1). Затем отдельно докажи делимость на 8 (используя чётность p) и на 3 (используя, что p не делится на 3). Объедини результаты.

Нужно доказать, что p² - 1 делится на 24 для любого простого числа p > 3.

Шаг 1: Разложим p² - 1 на множители. p² - 1 = (p - 1)(p + 1)

Шаг 2: Докажем, что (p - 1)(p + 1) делится на 8. Так как p — простое число и p > 3, то p не делится на 2. Значит, p — нечётное число. Если p нечётное, то (p - 1) и (p + 1) — два последовательных чётных числа. Одно из двух последовательных чётных чисел делится на 4, а другое — на 2. Поэтому их произведение делится на 4 × 2 = 8.

Шаг 3: Докажем, что (p - 1)(p + 1) делится на 3. Так как p — простое число и p > 3, то p не делится на 3. Любое число, не делящееся на 3, имеет остаток 1 или 2 при делении на 3. • Если p ≡ 1 (mod 3), то (p - 1) ≡ 0 (mod 3), то есть (p - 1) делится на 3. • Если p ≡ 2 (mod 3), то (p + 1) ≡ 0 (mod 3), то есть (p + 1) делится на 3. В обоих случаях произведение (p - 1)(p + 1) делится на 3.

Шаг 4: Применим признак делимости на 24. Мы доказали: — (p - 1)(p + 1) делится на 8 — (p - 1)(p + 1) делится на 3 Так как 8 и 3 — взаимно простые числа (не имеют общих делителей), то (p - 1)(p + 1) делится на 8 × 3 = 24.

Следовательно, p² - 1 кратно 24. ✓