Номер 1217 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1217.
Постройте график функции:
а) y = |x| - 3;
б) y = 4 - |x|.
💡 Подсказка (без ответа)
Сначала раскрой модуль по определению для x ≥ 0 и x < 0. Затем найди координаты вершины графика (она находится в точке, где x = 0) и 2–3 дополнительные точки для каждой части. Помни: графики функций с модулем всегда имеют форму галочки или перевёрнутой галочки.
Решение по шагам
Построение графиков функций с модулем.
а) y = |x| - 3
Шаг 1. Вспомним определение модуля:
- Если x ≥ 0, то |x| = x
- Если x < 0, то |x| = -x
Шаг 2. Раскроем модуль и получим две части функции:
- При x ≥ 0: y = x - 3
- При x < 0: y = -x - 3
Шаг 3. Составим таблицу значений:
Для x ≥ 0 (прямая y = x - 3):
- x = 0, y = -3 → точка (0; -3)
- x = 1, y = -2 → точка (1; -2)
- x = 3, y = 0 → точка (3; 0)
Для x < 0 (прямая y = -x - 3):
- x = -1, y = -2 → точка (-1; -2)
- x = -3, y = 0 → точка (-3; 0)
Шаг 4. На координатной плоскости отметим точки и соединим их двумя лучами, выходящими из вершины (0; -3). График имеет форму буквы V, вершина находится в точке (0; -3).
б) y = 4 - |x|
Шаг 1. Раскроем модуль:
- При x ≥ 0: y = 4 - x
- При x < 0: y = 4 - (-x) = 4 + x
Шаг 2. Составим таблицу значений:
Для x ≥ 0 (прямая y = 4 - x):
- x = 0, y = 4 → точка (0; 4)
- x = 1, y = 3 → точка (1; 3)
- x = 4, y = 0 → точка (4; 0)
Для x < 0 (прямая y = 4 + x):
- x = -1, y = 3 → точка (-1; 3)
- x = -4, y = 0 → точка (-4; 0)
Шаг 3. На координатной плоскости отметим точки и соединим их двумя лучами. График имеет форму перевёрнутой буквы V (или крыши), вершина находится в точке (0; 4).
Редакция 2019
№ 1217.
Найдите все простые числа p и q, для которых p2 − 2q2 = 1.
💡 Подсказка (без ответа)
Проанализируй, какие остатки может давать p² при делении на 8 для разных значений q. Рассмотри отдельно случаи, когда q чётное и нечётное.
Решение по шагам
Нужно найти простые числа p и q такие, что p² - 2q² = 1.
Шаг 1. Переформулируем уравнение
p² = 2q² + 1
Это значит, что p² на 1 больше, чем 2q².
Шаг 2. Рассмотрим остатки при делении на 8
Для любого нечётного числа p: p² ≡ 1 (mod 8)
Для числа q:
- если q нечётное: q² ≡ 1 (mod 8), тогда 2q² ≡ 2 (mod 8), значит 2q² + 1 ≡ 3 (mod 8)
- если q = 2: 2q² = 8, тогда 2q² + 1 = 9 ≡ 1 (mod 8)
Шаг 3. Выясняем, какое q подходит
Так как p² ≡ 1 (mod 8) для любого нечётного p, то q² ≡ 1 (mod 8).
Это возможно только если q = 2.
Шаг 4. Подставляем q = 2
p² - 2·2² = 1 p² - 8 = 1 p² = 9 p = 3 (так как p — простое число, то p > 0)
Шаг 5. Проверка
3² - 2·2² = 9 - 8 = 1 ✓
Оба числа 3 и 2 — простые. ✓