Номер 1216 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1216.
Постройте график уравнения:
а) у + |y| = x;
б) y = x|y|.
Редакция 2019
№ 1216.
Докажите, что если у есть среднее арифметическое х и z, то х4 + 2x3z − 2xz3 − z4 − 4x2y2 + 4y2z2 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Используйте условие y = (x + z)/2. Найдите y² и подставьте в исходное выражение. Группируйте члены с y² отдельно и раскрывайте скобки поэтапно.
Решение по шагам
Дано: y — среднее арифметическое x и z, то есть y = (x + z)/2
Нужно доказать: x⁴ + 2x³z − 2xz³ − z⁴ − 4x²y² + 4y²z² = 0
Решение:
Шаг 1. Из условия выразим y через x и z: y = (x + z)/2
Отсюда: 2y = x + z
Шаг 2. Найдём y²: y² = ((x + z)/2)² = (x + z)²/4 = (x² + 2xz + z²)/4
Шаг 3. Подставим y² в исходное выражение. Сначала упростим члены с y²:
−4x²y² + 4y²z² = 4y²(z² − x²) = 4 · (x² + 2xz + z²)/4 · (z² − x²)
= (x² + 2xz + z²)(z² − x²)
= (x² + 2xz + z²)(z − x)(z + x)
Шаг 4. Раскроем скобки (x² + 2xz + z²)(z − x)(z + x):
Заметим, что (z − x)(z + x) = z² − x²
(x² + 2xz + z²)(z² − x²) = x²z² − x⁴ + 2xz³ − 2x³z + z⁴ − x²z²
= −x⁴ + 2xz³ − 2x³z + z⁴
Шаг 5. Подставим в исходное выражение:
x⁴ + 2x³z − 2xz³ − z⁴ − 4x²y² + 4y²z²
= x⁴ + 2x³z − 2xz³ − z⁴ + (−x⁴ + 2xz³ − 2x³z + z⁴)
= x⁴ − x⁴ + 2x³z − 2x³z − 2xz³ + 2xz³ − z⁴ + z⁴
= 0 ✓
Доказано.