Номер 1218 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1218.
Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 - кубом натурального числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Представь число n в виде произведения степеней простых множителей: n = 2^p · 3^q · 5^r · ... Затем используй условия: 2n должно быть квадратом (все показатели чётные) и 3n должно быть кубом (все показатели делятся на 3). Найди наименьшие подходящие значения показателей.
Решение по шагам
Обозначим искомое число как n.
По условию:
- 2n = a² (для некоторого натурального числа a)
- 3n = b³ (для некоторого натурального числа b)
Запишем n через его простые множители: n = 2^p · 3^q · 5^r · 7^s · ...
Из первого условия (2n = a²): 2^(p+1) · 3^q · 5^r · 7^s · ... = a²
Для того чтобы это было полным квадратом, все показатели степеней должны быть чётными:
- p + 1 = чётное число, значит p = нечётное
- q = чётное
- r = чётное
- s = чётное
- и так далее...
Из второго условия (3n = b³): 2^p · 3^(q+1) · 5^r · 7^s · ... = b³
Для того чтобы это был полным кубом, все показатели степеней должны делиться на 3:
- p делится на 3
- q + 1 делится на 3, значит q ≡ 2 (mod 3)
- r делится на 3
- s делится на 3
- и так далее...
Найдём наименьшие значения p и q:
Для p: число нечётное И делится на 3 Наименьшее такое число: p = 3
Для q: число чётное И q ≡ 2 (mod 3) Проверяем: 0 (не подходит), 2 (подходит: 2 чётное и 2 ≡ 2 (mod 3)) Наименьшее: q = 2
Для остальных показателей берём нули (чтобы число было наименьшим).
Получаем: n = 2³ · 3² = 8 · 9 = 72
Проверка:
- 2n = 2 · 72 = 144 = 12² ✓
- 3n = 3 · 72 = 216 = 6³ ✓
Редакция 2019
№ 1218.
При каких значениях a, b, c и d является тождеством равенство
5x3 −32x2 + 75x − 71 = a(x − 2)3 + b(x − 2)2 + c(x − 2) + d?