Номер 1212 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1212.
К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число.
1ab1 = 23ab
1000 + 10ab + 1 = 23ab
1001 = 13ab
ab = 77
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь двузначное число буквой (или как 10a + b). Запиши новое число через то же обозначение: когда мы приписали 1 слева и 1 справа, это всё равно что умножили исходное число на 10 и добавили 1001. Составь уравнение на основе условия «в 23 раза больше».
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим двузначное число как ab (где a и b — его цифры).
Шаг 1: Поймём, что означает «приписали по единице». Если к числу ab слева приписали 1, а справа — 1, получилось число 1ab1.
Шаг 2: Запишем числа через их значения. Двузначное число ab можно записать как: ab = 10a + b Число 1ab1 можно записать как: 1ab1 = 1000 + 100a + 10b + 1 = 1001 + 100a + 10b
Обозначим для удобства ab просто как x. Тогда: — исходное число: x — новое число: 1000 + 10x + 1 = 1001 + 10x
Шаг 3: Составим уравнение по условию задачи. По условию новое число в 23 раза больше исходного: 1001 + 10x = 23x
Шаг 4: Решим уравнение. 1001 + 10x = 23x 1001 = 23x - 10x 1001 = 13x x = 1001 : 13 x = 77
Шаг 5: Проверим. Исходное число: 77 Новое число: 1771 77 × 23 = 1771 ✓
Ответ верен!
Редакция 2019
№ 1212.
Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Подумай, в каком виде можно записать натуральное число, которое не делится на 3. Вспомни: если число не делится на 3, то при делении на 3 остаток может быть только 1 или 2. Рассмотри оба случая отдельно, возведи каждое выражение в квадрат, а потом вычти 1.
Решение по шагам
Возьмём натуральное число, которое не кратно 3. Такое число можно записать в одном из двух видов:
- Число имеет вид 3n + 1 (остаток 1 при делении на 3) Возведём его в квадрат: (3n + 1)² = 9n² + 6n + 1
Вычтем 1: 9n² + 6n + 1 - 1 = 9n² + 6n = 3(3n² + 2n)
Мы получили произведение 3 на целое число (3n² + 2n), значит, результат кратен 3.
- Число имеет вид 3n + 2 (остаток 2 при делении на 3) Возведём его в квадрат: (3n + 2)² = 9n² + 12n + 4
Вычтем 1: 9n² + 12n + 4 - 1 = 9n² + 12n + 3 = 3(3n² + 4n + 1)
Мы получили произведение 3 на целое число (3n² + 4n + 1), значит, результат кратен 3.
Вывод: в обоих случаях разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3. Что и требовалось доказать.