Номер 1211 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Обозначь два последовательных натуральных числа как n и n + 1. Найди разность их кубов, используя формулу куба суммы. Заметь, что произведение двух последовательных чисел всегда делится на 2.

Обозначим два последовательных натуральных числа как n и (n + 1).

Найдём разность их кубов: (n + 1)³ - n³

Раскроем куб суммы по формуле (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: (n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1

Теперь вычтем n³: (n + 1)³ - n³ = n³ + 3n² + 3n + 1 - n³ = 3n² + 3n + 1

Вынесем общий множитель: 3n² + 3n + 1 = 3n(n + 1) + 1

Посмотрим на произведение n(n + 1): Это произведение двух последовательных натуральных чисел. Одно из них всегда чётное, поэтому n(n + 1) всегда делится на 2.

Значит, можем записать: n(n + 1) = 2k, где k — некоторое натуральное число.

Подставим: 3n(n + 1) + 1 = 3 · 2k + 1 = 6k + 1

Это число имеет вид 6k + 1, то есть при делении на 6 даёт остаток 1.

Чтобы убедиться, что остаток именно 1, а не что-то другое, заметим:

• 6k делится на 6 нацело (остаток 0)
• 6k + 1 при делении на 6 дает остаток 1

Отсюда следует, что разность кубов двух последовательных натуральных чисел всегда дает остаток 1 при делении на 6.