Номер 1210 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Обозначь два последовательных натуральных числа как n и n+1. Найди разность их кубов (n+1)³ - n³, раскрыв скобки по формуле куба суммы. Заметь, что произведение двух последовательных чисел всегда чётное.

Обозначим два последовательных натуральных числа как n и n+1.

Найдём разность их кубов: (n+1)³ - n³

Раскроем скобки (n+1)³: (n+1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1

Тогда разность: (n+1)³ - n³ = n³ + 3n² + 3n + 1 - n³ = 3n² + 3n + 1

Вынесем общий множитель из первых двух членов: 3n² + 3n + 1 = 3n(n + 1) + 1

Теперь главное наблюдение: n и (n+1) — это два последовательных натуральных числа, поэтому одно из них обязательно чётное.

Значит, произведение n(n+1) всегда чётное. Пусть n(n+1) = 2k, где k — некоторое натуральное число.

Тогда: 3n(n+1) + 1 = 3 · 2k + 1 = 6k + 1

Это число имеет вид 6k + 1, то есть при делении на 6 даёт остаток 1.

Что и требовалось доказать.